Considere que as variáveis aleatórias
são independentes e seguem uma distribuição de Poisson com parâmetro
, ou seja,
Suponha que o vetor de observações seja dado por
com média amostral igual a
.
- Escreva a expressão da função de verossimilhança correspondente aos dados observados.
- Calcule a primeira e a segunda derivada da
-verossimilhança em relação ao parâmetro
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
-
Informações fornecidas:
- As variáveis
são independentes e seguem . - Observações:
. - Média amostral:
. - Número de observações:
. - Soma das observações:
(observe que ).
- As variáveis
-
O que o enunciado pede:
- Escrever a expressão da função de verossimilhança correspondente aos dados observados.
- Calcular a primeira e a segunda derivada da
-verossimilhança em relação a .
Passo 2
Primeiro, lembrar a função massa de probabilidade de uma variável
. Para uma observação
vale:
Aqui
é o parâmetro da Poisson (média e variância teóricas),
é o fatorial de
. A independência dos
permite multiplicar as probabilidades para obter a verossimilhança conjunta.
Passo 3
A função de verossimilhança
é o produto das massas para cada observação:
Usando propriedades de produto e potência (produto de
fatores
dá
; produto de
dá
), obtemos a forma simplificada:
Essa é a verossimilhança numérica para os dados fornecidos.
Passo 4
Agora vamos trabalhar com a log-verossimilhança, porque é mais fácil derivar. Tomando o logaritmo natural de
:
Usando
e
, e chamando de constante
(que não depende de
), obtemos:
Observação:
é constante em relação a
, então ao derivar ela some.
Passo 5
Vamos derivar
em relação a
. Usamos duas regras simples:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é .
Aplicando a linearidade da derivação:
Uma forma mais geral (antes de substituir números) seria
Passo 6
Agora a segunda derivada. Usamos a regra de derivação da função
, que é
. Derivando
:
De forma geral:
Observação interpretativa rápida:
para
, o que mostra que a log-verossimilhança é côncava (tem máximo) em
.