Considere que as variáveis aleatórias Y_{1}, Y_{2}, \ldots, Y_{5} são independentes e seguem uma distribuição de Poisson com parâmetro \lambda, ou seja,
Y_{i} \sim \operatorname{Poisson}(\lambda), \quad i=1, \ldots, 5 .
Suponha que o vetor de observações seja dado por
y=(2,5,4,2,7)^{\top}
com média amostral igual a \bar{y}=4.
  1. Escreva a expressão da função de verossimilhança correspondente aos dados observados.
  2. Calcule a primeira e a segunda derivada da \log-verossimilhança em relação ao parâmetro \lambda.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
  • Informações fornecidas:
    • As variáveis Y_{1},Y_{2},\ldots,Y_{5} são independentes e seguem \operatorname{Poisson}(\lambda).
    • Observações: y=(2,5,4,2,7)^{\top}.
    • Média amostral: \bar{y}=4.
    • Número de observações: n=5.
    • Soma das observações: \sum_{i=1}^{5} y_{i} = 2+5+4+2+7 = 20 (observe que \sum y_i = n\bar{y} = 5\cdot4).
  • O que o enunciado pede:
    1. Escrever a expressão da função de verossimilhança correspondente aos dados observados.
    2. Calcular a primeira e a segunda derivada da \log-verossimilhança em relação a \lambda.

Passo 2

Primeiro, lembrar a função massa de probabilidade de uma variável \operatorname{Poisson}(\lambda). Para uma observação Y_i vale:
P(Y_i=y_i)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{y_i}}{y_i!}.
Aqui \lambda>0 é o parâmetro da Poisson (média e variância teóricas), y_i! é o fatorial de y_i. A independência dos Y_i permite multiplicar as probabilidades para obter a verossimilhança conjunta.

Passo 3

A função de verossimilhança L(\lambda) é o produto das massas para cada observação:
L(\lambda)=\prod_{i=1}^{5} P(Y_i=y_i)=\prod_{i=1}^{5} \left( e^{-\lambda}\frac{\lambda^{y_i}}{y_i!}\right).
Usando propriedades de produto e potência (produto de 5 fatores e^{-\lambda} e^{-5\lambda}; produto de \lambda^{y_i} \lambda^{\sum y_i}), obtemos a forma simplificada:
L(\lambda)=e^{-5\lambda}\frac{\lambda^{\sum_{i=1}^{5} y_i}}{\prod_{i=1}^{5} y_i!} = e^{-5\lambda}\frac{\lambda^{20}}{2!\,5!\,4!\,2!\,7!}.
Essa é a verossimilhança numérica para os dados fornecidos.

Passo 4

Agora vamos trabalhar com a log-verossimilhança, porque é mais fácil derivar. Tomando o logaritmo natural de L(\lambda):
\ell(\lambda)=\log L(\lambda)=\log\!\bigl(e^{-5\lambda}\bigr)+\log\!\bigl(\lambda^{20}\bigr)-\log\!\Bigl(\prod_{i=1}^{5} y_i!\Bigr).
Usando \log(e^{-5\lambda})=-5\lambda e \log(\lambda^{20})=20\log\lambda, e chamando de constante C=-\log\!\bigl(\prod_{i=1}^{5} y_i!\bigr) (que não depende de \lambda), obtemos:
\ell(\lambda) = -5\lambda + 20\log\lambda + C.
Observação: C é constante em relação a \lambda, então ao derivar ela some.

Passo 5

Vamos derivar \ell(\lambda) em relação a \lambda. Usamos duas regras simples:
  • Derivada de -5\lambda em relação a \lambda é -5.
  • Derivada de \log\lambda em relação a \lambda é 1/\lambda.
    Aplicando a linearidade da derivação:
\frac{d}{d\lambda}\ell(\lambda)=\ell'(\lambda) = -5 + 20\cdot\frac{1}{\lambda} = -5 + \frac{20}{\lambda}.
Uma forma mais geral (antes de substituir números) seria
\ell'(\lambda) = -n + \frac{\sum_{i=1}^{n} y_i}{\lambda}.

Passo 6

Agora a segunda derivada. Usamos a regra de derivação da função 1/\lambda, que é -1/\lambda^{2}. Derivando \ell'(\lambda):
\ell''(\lambda) = \frac{d}{d\lambda}\left(-5 + \frac{20}{\lambda}\right) = 0 + 20\cdot\left(-\frac{1}{\lambda^{2}}\right) = -\frac{20}{\lambda^{2}}.
De forma geral:
\ell''(\lambda) = -\frac{\sum_{i=1}^{n} y_i}{\lambda^{2}}.
Observação interpretativa rápida: \ell''(\lambda)<0 para \lambda>0, o que mostra que a log-verossimilhança é côncava (tem máximo) em \lambda>0.

Resposta

  1. \displaystyle L(\lambda)=e^{-5\lambda}\frac{\lambda^{20}}{2!\,5!\,4!\,2!\,7!}.
  2. \displaystyle \frac{d}{d\lambda}\ell(\lambda)=-5+\frac{20}{\lambda},\qquad \frac{d^{2}}{d\lambda^{2}}\ell(\lambda)=-\frac{20}{\lambda^{2}}.

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