Verifique se as distribuições abaixo fazem parte da família exponencial.
Passo 1
O enunciado dá a densidade da distribuição normal (gaussiana) com média
e variância
:
onde
e
.
A pergunta é: verificar se essa família de distribuições pode ser escrita na forma da família exponencial. Não é pedido apenas uma resposta sim/não: é preciso mostrar explicitamente a reescrita (ou mostrar que não é possível).
A pergunta é: verificar se essa família de distribuições pode ser escrita na forma da família exponencial. Não é pedido apenas uma resposta sim/não: é preciso mostrar explicitamente a reescrita (ou mostrar que não é possível).
Passo 2
Vou lembrar (de forma simples) o que significa pertencer à família exponencial. Uma densidade de probabilidade (ou função de massa) pertence à família exponencial (no caso multivariado de parâmetros) se puder ser escrita na forma
onde:
-
depende só de (a chamada medida de base); -
são as estatísticas suficientes (funções de ); -
são os parâmetros naturais (não dependem de ); -
é a função de normalização (log-partition), depende só dos parâmetros.
O ponto-chave é conseguir separar termos que dependem somente dedos que dependem só dos parâmetros.
Passo 3
Faço a álgebra do quadrado para expor explicitamente os termos em
. Desenvolvendo
dá:
Substituindo na exponencial da densidade,
Assim a densidade fica
Passo 4
Transformo o fator em frente da exponencial em forma exponencial também, usando
. Portanto
Agora fica evidente a separação entre termos que dependem de
e termos que dependem só dos parâmetros.
Passo 5
Comparando com a forma canônica da família exponencial, identifico:
- estatísticas (funções de
): - parâmetros naturais (não dependem de
): - função de base
: aqui podemos escolher e colocar tudo dentro da exponencial (ou separar e incorporar o resto em ); - função de normalização (log-partition)
escrita em termos de :
(Se preferir expressar
em termos de
, usando
e
, obtém-se a forma correspondente em
.)
Passo 6
Observações importantes (úteis na prova):
- O espaço natural dos parâmetros é
porque quando . - Para uma amostra independente
a estatística suficiente conjunta (na forma exponencial) será e . Isso é prático: basta somar e para obter toda a informação necessária sobre e na família completa. - Conclusão prática: a normal com média e variância desconhecidas é uma família exponencial de ordem
(dois parâmetros naturais).
Resposta
Sim. A densidade pode ser escrita na forma exponencial com estatísticas suficientes
, parâmetros canônicos
e função de normalização
.