Verifique se as distribuições abaixo fazem parte da família exponencial.
f(y)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^{2}}} \exp \left(-\frac{1}{2 \sigma^{2}}(y-\mu)^{2}\right), \quad y \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado dá a densidade da distribuição normal (gaussiana) com média \mu e variância \sigma^{2}:
f(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}\exp\!\left(-\frac{1}{2\sigma^{2}}(y-\mu)^{2}\right),\qquad y\in\mathbb{R},
onde \mu\in\mathbb{R} e \sigma^{2}>0.
A pergunta é: verificar se essa família de distribuições pode ser escrita na forma da família exponencial. Não é pedido apenas uma resposta sim/não: é preciso mostrar explicitamente a reescrita (ou mostrar que não é possível).

Passo 2

Vou lembrar (de forma simples) o que significa pertencer à família exponencial. Uma densidade de probabilidade (ou função de massa) pertence à família exponencial (no caso multivariado de parâmetros) se puder ser escrita na forma
f(y)=h(y)\exp\!\biggl(\sum_{i=1}^{k}\eta_i\,T_i(y)-A(\eta)\biggr),
onde:
  • h(y) depende só de y (a chamada medida de base);
  • T_i(y) são as estatísticas suficientes (funções de y);
  • \eta=(\eta_1,\dots,\eta_k) são os parâmetros naturais (não dependem de y);
  • A(\eta) é a função de normalização (log-partition), depende só dos parâmetros.
    O ponto-chave é conseguir separar termos que dependem somente de y dos que dependem só dos parâmetros.

Passo 3

Faço a álgebra do quadrado para expor explicitamente os termos em y. Desenvolvendo (y-\mu)^2 dá:
(y-\mu)^2 = y^2 - 2\mu y + \mu^2.
Substituindo na exponencial da densidade,
-\frac{1}{2\sigma^{2}}(y-\mu)^2 = -\frac{1}{2\sigma^{2}}y^2 + \frac{\mu}{\sigma^{2}}y - \frac{\mu^2}{2\sigma^{2}}.
Assim a densidade fica
f(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}\exp\!\left(\frac{\mu}{\sigma^{2}}y - \frac{1}{2\sigma^{2}}y^2 - \frac{\mu^2}{2\sigma^{2}}\right).

Passo 4

Transformo o fator em frente da exponencial em forma exponencial também, usando \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}=\exp\!\bigl(-\tfrac{1}{2}\ln(2\pi\sigma^{2})\bigr). Portanto
f(y)=\exp\!\left(\frac{\mu}{\sigma^{2}}y - \frac{1}{2\sigma^{2}}y^2 - \frac{\mu^2}{2\sigma^{2}} - \frac{1}{2}\ln(2\pi\sigma^{2})\right).
Agora fica evidente a separação entre termos que dependem de y e termos que dependem só dos parâmetros.

Passo 5

Comparando com a forma canônica da família exponencial, identifico:
  • estatísticas (funções de y): T_1(y)=y,\qquad T_2(y)=y^2;
  • parâmetros naturais (não dependem de y): \eta_1=\frac{\mu}{\sigma^{2}},\qquad \eta_2=-\frac{1}{2\sigma^{2}};
  • função de base h(y): aqui podemos escolher h(y)=1 e colocar tudo dentro da exponencial (ou separar h(y)=1 e incorporar o resto em A(\eta));
  • função de normalização (log-partition) A(\eta) escrita em termos de \mu,\sigma^{2}: A(\eta)=\frac{\mu^{2}}{2\sigma^{2}}+\frac{1}{2}\ln(2\pi\sigma^{2}).
(Se preferir expressar A em termos de \eta, usando \sigma^{2}=-\tfrac{1}{2\eta_2} e \mu=-\tfrac{\eta_1}{2\eta_2}, obtém-se a forma correspondente em \eta.)

Passo 6

Observações importantes (úteis na prova):
  • O espaço natural dos parâmetros é \{(\eta_1,\eta_2):\eta_1\in\mathbb{R},\\ \eta_2<0\} porque \eta_2=-\tfrac{1}{2\sigma^{2}}<0 quando \sigma^{2}>0.
  • Para uma amostra independente y_1,\dots,y_n a estatística suficiente conjunta (na forma exponencial) será \sum_{i}y_i e \sum_{i}y_i^2. Isso é prático: basta somar y_i e y_i^2 para obter toda a informação necessária sobre \mu e \sigma^2 na família completa.
  • Conclusão prática: a normal com média e variância desconhecidas é uma família exponencial de ordem 2 (dois parâmetros naturais).

Resposta

Sim. A densidade pode ser escrita na forma exponencial com estatísticas suficientes \;T_1(y)=y,\;T_2(y)=y^2\;, parâmetros canônicos \;\eta_1=\dfrac{\mu}{\sigma^{2}},\;\eta_2=-\dfrac{1}{2\sigma^{2}}\; e função de normalização \;A(\eta)=\dfrac{\mu^{2}}{2\sigma^{2}}+\dfrac{1}{2}\ln(2\pi\sigma^{2}).

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