Verifique se as distribuições abaixo fazem parte da família exponencial.
Passo 1
O enunciado dá a função massa de probabilidade
e pede para verificar se essa distribuição pertence à família exponencial. Informações importantes dadas:
- A variável aleatória
assume apenas os valores e . - O parâmetro
é um número tal que . - A pergunta é: “essa
pode ser escrita na forma geral da família exponencial?” (ou seja, existe uma representação exponencial canônica com um parâmetro natural, estatística suficiente etc.).
Passo 2
Lembra rapidinho qual é a forma geral (canônica) da família exponencial em uma dimensão: uma pmf/densidade
pertence à família exponencial se puder ser escrita como
onde:
-
é o parâmetro natural (função do parâmetro original), -
é a estatística suficiente (função só de ), -
é a função de normalização (também chamada log-partition function), que depende só de , -
depende só de .
Vou tentar reescrevernessa forma. Cada símbolo aí significa exatamente o descrito: não depende de , não depende de , e só de .
Passo 3
Faço as manipulações algébricas para transformar
em exponencial. Começo escrevendo em termos de logaritmos:
Agrupando termos em
e termos independentes de
:
Agora reconheço a forma exponencial: o coeficiente multiplicando
é um candidato a parâmetro natural. Defino
Com essa definição tem-se
. Então
Passo 4
Para colocar exatamente na forma canônica
, preciso escrever
como uma função que dependa só de
. Uso a relação inversa entre
e
. Da definição de
segue:
Portanto
Substituindo em
obtenho a forma canônica:
Isto é exatamente
com as escolhas
Passo 5
Interpretação e propriedades úteis (para a prova):
- Conclusão: sim, a distribuição pertence à família exponencial (é a Bernoulli em forma canônica).
- O parâmetro natural
varia em (porque dá ). - A estatística suficiente canônica é
(ou seja, uma única observação já é suficiente aqui). - A função de normalização é
. Em famílias exponenciais vale que a esperança de é e a variância é . Aqui:
Essas fórmulas confirmam que
e
, como esperado para Bernoulli.
Resposta
Sim. A distribuição é da família exponencial; forma canônica: