Verifique se as distribuições abaixo fazem parte da família exponencial.
f(y)=p^{y}(1-p)^{1-y}, \quad y=0,1

Passo 1

O enunciado dá a função massa de probabilidade
f(y)=p^{y}(1-p)^{1-y},\qquad y=0,1,
e pede para verificar se essa distribuição pertence à família exponencial. Informações importantes dadas:
  • A variável aleatória Y assume apenas os valores 0 e 1.
  • O parâmetro p é um número tal que 0<p<1.
  • A pergunta é: “essa f(y) pode ser escrita na forma geral da família exponencial?” (ou seja, existe uma representação exponencial canônica com um parâmetro natural, estatística suficiente etc.).

Passo 2

Lembra rapidinho qual é a forma geral (canônica) da família exponencial em uma dimensão: uma pmf/densidade f(y;\theta) pertence à família exponencial se puder ser escrita como
f(y;\theta)=h(y)\exp\big\{\theta\,T(y)-A(\theta)\big\},
onde:
  • \theta é o parâmetro natural (função do parâmetro original),
  • T(y) é a estatística suficiente (função só de y),
  • A(\theta) é a função de normalização (também chamada log-partition function), que depende só de \theta,
  • h(y) depende só de y.
    Vou tentar reescrever f(y) nessa forma. Cada símbolo aí significa exatamente o descrito: \theta não depende de y, T(y) não depende de \theta, e A(\theta) só de \theta.

Passo 3

Faço as manipulações algébricas para transformar f(y) em exponencial. Começo escrevendo em termos de logaritmos:
f(y)=p^{y}(1-p)^{1-y}=\exp\big\{y\log p+(1-y)\log(1-p)\big\}.
Agrupando termos em y e termos independentes de y:
\exp\big\{y\log p+(1-y)\log(1-p)\big\} =\exp\big\{y\log p+\log(1-p)-y\log(1-p)\big\} =\exp\Big\{y\big(\log p-\log(1-p)\big)+\log(1-p)\Big\}.
Agora reconheço a forma exponencial: o coeficiente multiplicando y é um candidato a parâmetro natural. Defino
\theta=\log\!\bigg(\frac{p}{1-p}\bigg).
Com essa definição tem-se \log p-\log(1-p)=\theta. Então
f(y)=\exp\big\{y\theta+\log(1-p)\big\}.

Passo 4

Para colocar exatamente na forma canônica \exp\{\theta T(y)-A(\theta)\}h(y), preciso escrever \log(1-p) como uma função que dependa só de \theta. Uso a relação inversa entre p e \theta. Da definição de \theta segue:
\theta=\log\!\bigg(\frac{p}{1-p}\bigg)\quad\Longrightarrow\quad \frac{p}{1-p}=e^{\theta}\quad\Longrightarrow\quad p=\frac{e^{\theta}}{1+e^{\theta}}.
Portanto
1-p=\frac{1}{1+e^{\theta}}\quad\Longrightarrow\quad \log(1-p)=-\log\big(1+e^{\theta}\big).
Substituindo em f(y) obtenho a forma canônica:
f(y)=\exp\big\{y\theta-\log(1+e^{\theta})\big\}.
Isto é exatamente
f(y)=h(y)\exp\{\theta T(y)-A(\theta)\}
com as escolhas
T(y)=y,\qquad A(\theta)=\log\big(1+e^{\theta}\big),\qquad h(y)=1.

Passo 5

Interpretação e propriedades úteis (para a prova):
  • Conclusão: sim, a distribuição pertence à família exponencial (é a Bernoulli em forma canônica).
  • O parâmetro natural \theta varia em \mathbb{R} (porque p\in(0,1) \theta\in\mathbb{R}).
  • A estatística suficiente canônica é T(y)=y (ou seja, uma única observação já é suficiente aqui).
  • A função de normalização é A(\theta)=\log(1+e^{\theta}). Em famílias exponenciais vale que a esperança de T(Y) é A'(\theta) e a variância é A''(\theta). Aqui:
A'(\theta)=\frac{e^{\theta}}{1+e^{\theta}}=p,\qquad A''(\theta)=\frac{e^{\theta}}{(1+e^{\theta})^{2}}=p(1-p).
Essas fórmulas confirmam que \mathbb{E}(Y)=p e \operatorname{Var}(Y)=p(1-p), como esperado para Bernoulli.

Resposta

Sim. A distribuição é da família exponencial; forma canônica:
f(y)=\exp\{\theta y - A(\theta)\},\quad\text{onde}\quad \theta=\log\!\bigg(\frac{p}{1-p}\bigg),\quad A(\theta)=\log\big(1+e^{\theta}\big),\quad T(y)=y,\quad h(y)=1.

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