Considere
uma variável aleatória discreta com suporte em
e função de probabilidade dada por:
Determine
de forma que a função acima seja uma legítima função de probabilidade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma variável aleatória discreta
que pode assumir os valores
e uma função de probabilidade dada por:
Nosso objetivo aqui é encontrar o valor de
que faz dessa função uma função de probabilidade legítima. Isso significa que a soma das probabilidades para todos os possíveis valores de
deve ser igual a 1.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para qualquer função de probabilidade, a soma de todas as probabilidades deve ser 1. Ou seja:
Substituindo a função de probabilidade dada:
Passo 3
Agora, vamos focar na soma:
Podemos simplificar isso mudando o índice de soma. Vamos deixar
. Assim, quando
,
, e quando
vai para o infinito,
também vai para o infinito. A soma fica:
Esse é um espaço geométrico com razão
.
Passo 4
Sabemos que a soma de uma série geométrica infinita
é igual a
, desde que
.
Aqui,
, então:
Agora, voltando à nossa equação original:
Resposta
Portanto, o valor de
que torna a função de probabilidade legítima é: