Considere uma variável aleatória X com distribuição uniforme no intervalo [2,12].
a) Esboce o gráfico da função de densidade de probabilidade de X.
b) Obtenha a expressão da função de densidade de X.
c) Calcule P(X>7);
d) Calcule P(7<X \leq 10);
e) Calcule o valor k tal que P(X \geq k)=0.25.

Passo 1

O enunciado diz que X tem distribuição uniforme no intervalo [2,12]. Pede-se:
a) o esboço do gráfico da densidade de probabilidade,
b) a expressão analítica dessa densidade,
c) P(X>7),
d) P(7<X\le10),
e) o valor de k tal que P(X\ge k)=0,25.
O conteúdo necessário é a definição e propriedades da distribuição uniforme contínua, uso de área sob a curva para probabilidades e cálculo de quantil.

Passo 2

A densidade de uma uniforme contínua é constante no intervalo de suporte e zero fora dele. Aqui, o suporte é [2,12]. Como a área total sob a curva deve ser 1, a altura do retângulo é
\frac{1}{12-2} = 0{,}1.
O gráfico é, portanto, um retângulo de altura 0{,}1 entre x=2 e x=12, e 0 para x<2 ou x>12.

Passo 3

Por definição de uniforme contínua em \left[a,b\right]\), \[f_X(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{b-a},&a \le x \le b,\\[6pt] 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}
Aqui a=2\] e \(b=12, logo
f_X(x)= \begin{cases} 0{,}1,&2\le x\le12,\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}á]

Passo 4

Para P(X>7) usamos a área da densidade de x=7 até x=12:
P(X>7) = \int_{7}^{12}0{,}1\,dx = (12-7)\times0{,}1 = 5\times0{,}1 = 0{,}5.

Passo 5

Para P(7<X\le10) calculamos a área de x=7 até x=10:
P(7<X\le10) = \int_{7}^{10}0{,}1\,dx = (10-7)\times0{,}1 = 3\times0{,}1 = 0{,}3.

Passo 6

Queremos k tal que
P(X\ge k)=0{,}25.
Como P(X\ge k)=1 - P(X<k) e P(X<k)=\frac{k-2}{10}, impomos
1 - \frac{k-2}{10} = 0{,}25 \quad\Longrightarrow\quad \frac{k-2}{10} = 0{,}75 \quad\Longrightarrow\quad k-2 = 7{,}5 \quad\Longrightarrow\quad k = 9{,}5.

Resposta

a) Gráfico da pdf: retângulo de altura 0{,}1\) em \([2,12]\) e \(0\) fora. b) \[f_X(x)= \begin{cases} 0{,}1,&2\le x\le12,\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}
c) P(X>7)=0{,}5\]. d) \(P(7<X\le10)=0{,}3.
e) k=9{,}5.

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