Uma variável aleatória X tem distribuição triangular no intervalo [0,1] se sua f.d.p. for dada por:
f_{X}(x)=\left\{\begin{array}{c} 0, \quad \text { se } x<0 \\\ k x, \quad \text { se } 0 \leq x<\frac{1}{2} \\\ k(1-x), \quad \text { se } \frac{1}{2} \leq x \leq 1 \\\\ 0, \quad \text { se } x>1 \end{array}\right.
a) Qual valor deve ter a constante k ?
b) Faça o gráfico de f_{X}(x).
c) Determine P(X \leq 2), P(X>1 / 2) e P(1 / 4 \leq X \leq 3 / 4).
d) Calcule a esperança e variância de X.
Passo 1
O enunciado define uma variável aleatória X\) com densidade triangular em \([0,1]\), dada por
\[f_{X}(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\\ k\,x, & 0\le x<\tfrac12,\\\ k\,(1-x), & \tfrac12\le x\le1,\\\\ 0, & x>1. \end{cases}
Queremos encontrar a) a constante de normalização k\],
**b)** o esboço do gráfico de \(f_X, c) probabilidades P(X\le2), P(X>\tfrac12) e P(\tfrac14\le X\le\tfrac34), d) esperança e variância de X.
Passo 2
Para achar k, usamos \int_{-\infty}^{\infty}f_X(x)\,dx=1. Como o suporte é [0,1],
O gráfico de f_X(x) é um triângulo em [0,1]:
– de x=0 a x=\tfrac12, uma reta que sobe de (0,0) até \bigl(\tfrac12,f(\tfrac12)\bigr)=(\tfrac12,4\cdot\tfrac12)=(\tfrac12,2);
– de x=\tfrac12 a x=1, uma reta que desce de (\tfrac12,2) até (1,0).
a) k=4.
b) Triângulo em [0,1] subindo linearmente de (0,0) a (\tfrac12,2) e descendo a (1,0).
c) P(X\le2)=1,\quad P(X>\tfrac12)=\tfrac12,\quad P(\tfrac14\le X\le\tfrac34)=0,75.
d) E[X]=\tfrac12,\quad \mathrm{Var}(X)=\tfrac1{24}.