Uma variável aleatória X tem distribuição triangular no intervalo [0,1] se sua f.d.p. for dada por:
f_{X}(x)=\left\{\begin{array}{c} 0, \quad \text { se } x<0 \\\ k x, \quad \text { se } 0 \leq x<\frac{1}{2} \\\ k(1-x), \quad \text { se } \frac{1}{2} \leq x \leq 1 \\\\ 0, \quad \text { se } x>1 \end{array}\right.
a) Qual valor deve ter a constante k ?
b) Faça o gráfico de f_{X}(x).
c) Determine P(X \leq 2), P(X>1 / 2) e P(1 / 4 \leq X \leq 3 / 4).
d) Calcule a esperança e variância de X.

Passo 1

O enunciado define uma variável aleatória X\) com densidade triangular em \([0,1]\), dada por \[f_{X}(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\\ k\,x, & 0\le x<\tfrac12,\\\ k\,(1-x), & \tfrac12\le x\le1,\\\\ 0, & x>1. \end{cases}
Queremos encontrar
a) a constante de normalização k\], **b)** o esboço do gráfico de \(f_X,
c) probabilidades P(X\le2), P(X>\tfrac12) e P(\tfrac14\le X\le\tfrac34),
d) esperança e variância de X.

Passo 2

Para achar k, usamos \int_{-\infty}^{\infty}f_X(x)\,dx=1. Como o suporte é [0,1],
\int_{0}^{1/2}k\,x\,dx+\int_{1/2}^{1}k\,(1-x)\,dx=1.
Calculamos separadamente:
\int_{0}^{1/2}x\,dx=\frac{x^2}{2}\Big|_{0}^{1/2}=\frac{1}{8},\quad \int_{1/2}^{1}(1-x)\,dx=\Bigl[x-\frac{x^2}{2}\Bigr]_{1/2}^{1} =\frac{1}{8}.
Logo
k\Bigl(\tfrac18+\tfrac18\Bigr)=1 \quad\Longrightarrow\quad k\cdot\tfrac14=1 \quad\Longrightarrow\quad k=4.

Passo 3

O gráfico de f_X(x) é um triângulo em [0,1]:
– de x=0 a x=\tfrac12, uma reta que sobe de (0,0) até \bigl(\tfrac12,f(\tfrac12)\bigr)=(\tfrac12,4\cdot\tfrac12)=(\tfrac12,2);
– de x=\tfrac12 a x=1, uma reta que desce de (\tfrac12,2) até (1,0).

Passo 4

Para as probabilidades:
  1. P(X\le2)=1 pois o suporte de X é [0,1].
P\bigl(X>\tfrac12\bigr) =\int_{1/2}^{1}4\,(1-x)\,dx =4\cdot\tfrac18 =\tfrac12.
P\!\bigl(\tfrac14\le X\le\tfrac34\bigr) =\int_{1/4}^{1/2}4x\,dx+\int_{1/2}^{3/4}4(1-x)\,dx.
Calculando cada parte:
\displaystyle\int_{1/4}^{1/2}4x\,dx =2\bigl[x^2\bigr]_{1/4}^{1/2} =2\bigl(\tfrac14-\tfrac1{16}\bigr)=0,375,
\displaystyle\int_{1/2}^{3/4}4(1-x)\,dx =4\bigl[(x-\tfrac{x^2}{2})\bigr]_{1/2}^{3/4} =0,375.
Somando, obtém-se 0,375+0,375=0,75.

Passo 5

Para a esperança:
E[X] =\int_{0}^{1/2}x\cdot4x\,dx+\int_{1/2}^{1}x\cdot4(1-x)\,dx =0,5.
Para E[X^2]:
E[X^2] =\int_{0}^{1/2}4x^3\,dx+\int_{1/2}^{1}4x^2(1-x)\,dx =\frac{7}{24}\approx0,29167.
Assim a variância é
\mathrm{Var}(X) =E[X^2]-\bigl(E[X]\bigr)^2 =\frac{7}{24}-\Bigl(\tfrac12\Bigr)^2 =\frac{7}{24}-\frac{6}{24} =\frac{1}{24}\approx0,04167.

Resposta

a) k=4.
b) Triângulo em [0,1] subindo linearmente de (0,0) a (\tfrac12,2) e descendo a (1,0).
c)
P(X\le2)=1,\quad P(X>\tfrac12)=\tfrac12,\quad P(\tfrac14\le X\le\tfrac34)=0,75.
d)
E[X]=\tfrac12,\quad \mathrm{Var}(X)=\tfrac1{24}.

Exercícios relacionados