1. Considere uma variável discreta X, cuja funçāo massa de probabilidade é descrita segundo a tabela abaixo.
1 2 4 5 8 9
(x) 0.2 0,2 0,1 0,3 0,1 0,1
(d) Esboce o gráfico de sua função acumulada de probabilidades.

Passo 1

O enunciado dá a função massa de probabilidade (pmf) de uma variável discreta X através da tabela (peguei esses números da tabela fornecida):
  • Valores de X: 1,2,4,5,8,9.
  • Probabilidades correspondentes: p_X(1)=0,2, p_X(2)=0,2, p_X(4)=0,1, p_X(5)=0,3, p_X(8)=0,1, p_X(9)=0,1.
O que o enunciado pede: esboçar o gráfico da função acumulada de probabilidades (a função distribuição acumulada, também chamada de CDF).

Passo 2

O que é a função acumulada (CDF) e como ela se calcula:
  • A CDF de X, que chamo de F_X(x), é definida por
F_X(x)=P(X\le x)=\sum_{t:\,t\le x} p_X(t).
Isto significa: para qualquer número real x, F_X(x) é a soma de todas as probabilidades dos valores de X que são menores ou iguais a x.
  • Característica importante para variáveis discretas: F_X é uma função em degraus (step function), direita-contínua. Em cada ponto de suporte (cada valor t com p_X(t)>0) a CDF tem um salto cujo tamanho é exatamente p_X(t). À esquerda do salto a CDF tem um valor menor; no ponto e imediatamente à direita do ponto a CDF já inclui a probabilidade daquele valor.

Passo 3

Calcular os valores acumulados nos pontos de interesse (vou somar as probabilidades na ordem dos valores de X):
  • Para x<1: não inclui nenhum valor possível, então
F_X(x)=0.
  • Em x=1: inclui apenas 1, então
F_X(1)=p_X(1)=0,2.
  • Em x=2: inclui 1 e 2, então
F_X(2)=p_X(1)+p_X(2)=0,2+0,2=0,4.
  • Em x=4: inclui 1,2,4, então
F_X(4)=0,4+0,1=0,5.
  • Em x=5: inclui 1,2,4,5, então
F_X(5)=0,5+0,3=0,8.
  • Em x=8: inclui 1,2,4,5,8, então
F_X(8)=0,8+0,1=0,9.
  • Em x=9: inclui todos os valores, então
F_X(9)=0,9+0,1=1,0.
Também é útil anotar os limites pela esquerda (valores imediatamente antes dos pontos), para indicar onde colocar círculos abertos no esboço:
  • F_X(1^-)=0, F_X(2^-)=0,2, F_X(4^-)=0,4, F_X(5^-)=0,5, F_X(8^-)=0,8, F_X(9^-)=0,9.

Passo 4

Como esboçar o gráfico (passo a passo prático que dá para fazer à mão na prova):
  1. Trace dois eixos: eixo horizontal x (valores reais) e eixo vertical F_X(x) com escala de 0 a 1.
  2. Para x<1, desenhe a linha horizontal em F_X(x)=0.
  3. Em x=1 coloque um salto: desenhe um ponto fechado em (1,0,2) e um círculo aberto em (1,0). Para 1\le x<2 a linha horizontal fica em F_X(x)=0,2.
  4. Em x=2 coloque um ponto fechado em (2,0,4) e um círculo aberto em (2,0,2). Para 2\le x<4 a linha fica em 0,4.
  5. Em x=4 coloque ponto fechado em (4,0,5) e círculo aberto em (4,0,4). Para 4\le x<5 a linha fica em 0,5.
  6. Em x=5 ponto fechado em (5,0,8) e círculo aberto em (5,0,5). Para 5\le x<8 a linha fica em 0,8.
  7. Em x=8 ponto fechado em (8,0,9) e círculo aberto em (8,0,8). Para 8\le x<9 a linha fica em 0,9.
  8. Em x=9 ponto fechado em (9,1,0) e círculo aberto em (9,0,9). Para x\ge 9 a linha permanece em 1,0.
Observação prática: os “pontos fechados” marcam o valor da CDF no próprio x; os círculos abertos à esquerda mostram que a CDF, imediatamente antes do ponto, tem o valor anterior. Isso é o aspecto clássico de uma CDF discreta em degraus.

Passo 5

Resumo numérico que ajuda a desenhar: níveis da CDF por intervalos (pronto para copiar no papel)
  • x<1:\\ F_X(x)=0.
  • 1\le x<2:\\ F_X(x)=0,2.
  • 2\le x<4:\\ F_X(x)=0,4.
  • 4\le x<5:\\ F_X(x)=0,5.
  • 5\le x<8:\\ F_X(x)=0,8.
  • 8\le x<9:\\ F_X(x)=0,9.
  • x\ge 9:\\ F_X(x)=1,0.

Resposta

F_X(x)= \begin{cases} 0, & x<1,\\[4pt] 0,2, & 1\le x<2,\\[4pt] 0,4, & 2\le x<4,\\[4pt] 0,5, & 4\le x<5,\\[4pt] 0,8, & 5\le x<8,\\[4pt] 0,9, & 8\le x<9,\\[4pt] 1,0, & x\ge 9. \end{cases}]

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