- Considere uma variável discreta
, cuja funçāo massa de probabilidade é descrita segundo a tabela abaixo.
1
2
4
5
8
9
0.2
0,2
0,1
0,3
0,1
0,1
(d) Esboce o gráfico de sua função acumulada de probabilidades.
| 1 | 2 | 4 | 5 | 8 | 9 | |
|
|
0.2 | 0,2 | 0,1 | 0,3 | 0,1 | 0,1 |
Passo 1
O enunciado dá a função massa de probabilidade (pmf) de uma variável discreta
através da tabela (peguei esses números da tabela fornecida):
- Valores de
: . - Probabilidades correspondentes:
, , , , , .
O que o enunciado pede: esboçar o gráfico da função acumulada de probabilidades (a função distribuição acumulada, também chamada de CDF).
Passo 2
O que é a função acumulada (CDF) e como ela se calcula:
- A CDF de
, que chamo de , é definida por
Isto significa: para qualquer número real
,
é a soma de todas as probabilidades dos valores de
que são menores ou iguais a
.
- Característica importante para variáveis discretas:
é uma função em degraus (step function), direita-contínua. Em cada ponto de suporte (cada valor com ) a CDF tem um salto cujo tamanho é exatamente . À esquerda do salto a CDF tem um valor menor; no ponto e imediatamente à direita do ponto a CDF já inclui a probabilidade daquele valor.
Passo 3
Calcular os valores acumulados nos pontos de interesse (vou somar as probabilidades na ordem dos valores de
):
- Para
: não inclui nenhum valor possível, então
- Em
: inclui apenas , então
- Em
: inclui e , então
- Em
: inclui , então
- Em
: inclui , então
- Em
: inclui , então
- Em
: inclui todos os valores, então
Também é útil anotar os limites pela esquerda (valores imediatamente antes dos pontos), para indicar onde colocar círculos abertos no esboço:
-
, , , , , .
Passo 4
Como esboçar o gráfico (passo a passo prático que dá para fazer à mão na prova):
- Trace dois eixos: eixo horizontal
(valores reais) e eixo vertical com escala de a . - Para
, desenhe a linha horizontal em . - Em
coloque um salto: desenhe um ponto fechado em e um círculo aberto em . Para a linha horizontal fica em . - Em
coloque um ponto fechado em e um círculo aberto em . Para a linha fica em . - Em
coloque ponto fechado em e círculo aberto em . Para a linha fica em . - Em
ponto fechado em e círculo aberto em . Para a linha fica em . - Em
ponto fechado em e círculo aberto em . Para a linha fica em . - Em
ponto fechado em e círculo aberto em . Para a linha permanece em .
Observação prática: os “pontos fechados” marcam o valor da CDF no próprio
; os círculos abertos à esquerda mostram que a CDF, imediatamente antes do ponto, tem o valor anterior. Isso é o aspecto clássico de uma CDF discreta em degraus.
Passo 5
Resumo numérico que ajuda a desenhar: níveis da CDF por intervalos (pronto para copiar no papel)
-
. -
. -
. -
. -
. -
. -
.