Considere
. A curva
é a interseção do cilindro
com o plano
. Seja a superfície
o disco do plano
limitado por
. Calcule
.
Passo 1
O enunciado dá a campo vetorial
.
A curva é a interseção do cilindro
com o plano
, ou seja, é o círculo de raio
no plano
.
A superfície é o disco do plano
limitado por
(o disco de raio
centrado na origem em
).
O que se pede: calcular .
A curva
A superfície
O que se pede: calcular
Passo 2
Vou usar o Teorema de Stokes porque
é a fronteira de uma superfície plana simples
. Em vez de parametrizar o contorno e calcular a integral de linha diretamente, que dá mais trabalho, é mais prático calcular o rotacional de
e integrar sua componente normal sobre o disco
. Isso costuma ser mais rápido quando a superfície é simples (um disco) e o rotacional é fácil de obter.
Passo 3
O enunciado permite aplicar o Teorema de Stokes que afirma:
onde
é o rotacional de
e
é o vetor normal unitário à superfície
escolhido com a orientação compatível com a orientação de
.
Explicando: o rotacional é um campo vetorial cujas componentes são combinações de derivadas parciais de ; ele mede a “rotacão local” do campo. O produto escalar com
captura a componente do rotacional que atravessa a superfície, e a integral dupla soma essa contribuição sobre todo o disco.
Explicando: o rotacional é um campo vetorial cujas componentes são combinações de derivadas parciais de
Passo 4
Calculo o rotacional
. Para
com
,
,
, a fórmula é
Calculemos cada derivada:
logo a primeira componente é
.
logo a segunda componente é
.
logo a terceira componente é
.
Portanto
Portanto
Passo 5
A superfície
está no plano
. Um vetor normal unitário para esse plano é
(escolho o normal apontando para cima). Observação importante: a escolha de
determina a orientação positiva de
(regra da mão direita). Se o enunciado não especifica a orientação de
, adotamos a orientação positiva compatível com
, i.e.,
percorrido no sentido anti-horário visto de cima.
Passo 6
O produto escalar
é a terceira componente do rotacional (porque
). Assim
Na superfície
temos
, então o integrando fica
. Portanto a integral de superfície é
onde
é o disco em
-plano dado por
(a projeção do disco
) e
é o elemento de área no plano.
Passo 7
Separe a integral:
Explicando cada termo: o primeiro é a integral da função
sobre um disco centrado na origem; por simetria ímpar em
esse termo se annula. Formalmente, para cada ponto
no disco há o ponto
com valores de
opostos, então a soma cancela, logo
Passo 8
O segundo termo é simplesmente a área do disco de raio
:
Se quiser ver em coordenadas polares:
Passo 9
Somando os termos:
Portanto, pela igualdade do Teorema de Stokes, a integral de linha pedida é
. (Se a orientação de
fosse a oposta à compatível com
, o resultado teria sinal trocado.)