Considere \vec{F}(x, y, z)=(2 x-y z, 3 z+x y, 4 y+x z). A curva C é a interseção do cilindro x^{2}+y^{2}=9 com o plano z=1. Seja a superfície S o disco do plano z=1 limitado por C. Calcule \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}.

Passo 1

O enunciado dá a campo vetorial \vec{F}(x,y,z)=(2x-yz,\;3z+xy,\;4y+xz).
A curva C é a interseção do cilindro x^{2}+y^{2}=9 com o plano z=1, ou seja, é o círculo de raio 3 no plano z=1.
A superfície S é o disco do plano z=1 limitado por C (o disco de raio 3 centrado na origem em z=1).
O que se pede: calcular \displaystyle \int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}.

Passo 2

Vou usar o Teorema de Stokes porque C é a fronteira de uma superfície plana simples S. Em vez de parametrizar o contorno e calcular a integral de linha diretamente, que dá mais trabalho, é mais prático calcular o rotacional de \vec{F} e integrar sua componente normal sobre o disco S. Isso costuma ser mais rápido quando a superfície é simples (um disco) e o rotacional é fácil de obter.

Passo 3

O enunciado permite aplicar o Teorema de Stokes que afirma:
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS,
onde \nabla\times\vec{F} é o rotacional de \vec{F} e \vec{n} é o vetor normal unitário à superfície S escolhido com a orientação compatível com a orientação de C.
Explicando: o rotacional é um campo vetorial cujas componentes são combinações de derivadas parciais de \vec{F}; ele mede a “rotacão local” do campo. O produto escalar com \vec{n} captura a componente do rotacional que atravessa a superfície, e a integral dupla soma essa contribuição sobre todo o disco.

Passo 4

Calculo o rotacional \nabla\times\vec{F}. Para \vec{F}=(F_1,F_2,F_3) com F_1=2x-yz, F_2=3z+xy, F_3=4y+xz, a fórmula é
\nabla\times\vec{F}=\Big(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z},\; \frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x},\; \frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\Big).
Calculemos cada derivada:
\frac{\partial F_3}{\partial y}=\frac{\partial (4y+xz)}{\partial y}=4, \qquad \frac{\partial F_2}{\partial z}=\frac{\partial (3z+xy)}{\partial z}=3,
logo a primeira componente é 4-3=1.
\frac{\partial F_1}{\partial z}=\frac{\partial (2x-yz)}{\partial z}=-y, \qquad \frac{\partial F_3}{\partial x}=\frac{\partial (4y+xz)}{\partial x}=z,
logo a segunda componente é -y-z.
\frac{\partial F_2}{\partial x}=\frac{\partial (3z+xy)}{\partial x}=y, \qquad \frac{\partial F_1}{\partial y}=\frac{\partial (2x-yz)}{\partial y}=-z,
logo a terceira componente é y-(-z)=y+z.
Portanto
\nabla\times\vec{F}=(1,\;-y-z,\;y+z).

Passo 5

A superfície S está no plano z=1. Um vetor normal unitário para esse plano é \vec{n}=(0,0,1) (escolho o normal apontando para cima). Observação importante: a escolha de \vec{n} determina a orientação positiva de C (regra da mão direita). Se o enunciado não especifica a orientação de C, adotamos a orientação positiva compatível com \vec{n}=(0,0,1), i.e., C percorrido no sentido anti-horário visto de cima.

Passo 6

O produto escalar (\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n} é a terceira componente do rotacional (porque \vec{n}=(0,0,1)). Assim
(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}=y+z.
Na superfície S temos z=1, então o integrando fica y+1. Portanto a integral de superfície é
\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS=\iint_{D}(y+1)\,dA,
onde D é o disco em xy-plano dado por x^{2}+y^{2}\le 9 (a projeção do disco z=1) e dA é o elemento de área no plano.

Passo 7

Separe a integral:
\iint_{D}(y+1)\,dA=\iint_{D}y\,dA+\iint_{D}1\,dA.
Explicando cada termo: o primeiro é a integral da função y sobre um disco centrado na origem; por simetria ímpar em y esse termo se annula. Formalmente, para cada ponto (x,y) no disco há o ponto (x,-y) com valores de y opostos, então a soma cancela, logo
\iint_{D}y\,dA=0.

Passo 8

O segundo termo é simplesmente a área do disco de raio 3:
\iint_{D}1\,dA=\text{área}(D)=\pi(3)^{2}=9\pi.á
Se quiser ver em coordenadas polares:
\iint_{D}1\,dA=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3} r\,dr\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\Big[\tfrac{1}{2}r^{2}\Big]_{0}^{3}d\theta =\int_{0}^{2\pi}\tfrac{9}{2}\,d\theta= \tfrac{9}{2}\cdot 2\pi=9\pi.

Passo 9

Somando os termos:
\iint_{D}(y+1)\,dA=0+9\pi=9\pi.
Portanto, pela igualdade do Teorema de Stokes, a integral de linha pedida é 9\pi. (Se a orientação de C fosse a oposta à compatível com \vec{n}=(0,0,1), o resultado teria sinal trocado.)

Resposta

9\pi

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