Calcule \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}, \operatorname{com} \vec{F}(x, y, z)=(y,-x, x y z). A curva C é a interseção do cilindro x^{2}+y^{2}=1 com o plano z=x+2 y+3.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular \displaystyle \int_{C} \vec{F}\cdot d\vec{r} para \vec{F}(x,y,z)=(y,-x,xyz) e C sendo a curva fechada dada pela interseção do cilindro \displaystyle x^{2}+y^{2}=1 com o plano \displaystyle z=x+2y+3.
Informações relevantes dadas:
  • O campo vetorial é \displaystyle \vec{F}(x,y,z)=(y,-x,xyz).
  • A curva C é fechada e plana (está contida no plano \displaystyle z=x+2y+3).
  • A projeção de C no plano xy é o círculo \displaystyle x^{2}+y^{2}=1 (ou seja, a região interna é o disco unitário).

Passo 2

Escolha do método: como C é uma curva fechada que é contato de um plano com um cilindro (portanto é bordo de uma superfície plana S), o Teorema de Stokes é uma boa opção. Vou verificar se o campo é conservativo (se fosse, a integral seria zero para qualquer curva fechada), mas se não for, usamos Stokes:
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot d\vec{S}.
Vou calcular \nabla\times\vec{F} para decidir.

Passo 3

Cálculo do rotacional \nabla\times\vec{F}. Para \vec{F}=(F_1,F_2,F_3)=(y,-x,xyz) usamos a definição por derivadas parciais:
\nabla\times\vec{F}=\Big(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z},\;\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x},\;\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\Big).
Calculando termo a termo:
\frac{\partial F_3}{\partial y}=\frac{\partial (xyz)}{\partial y}=xz,\qquad \frac{\partial F_2}{\partial z}=\frac{\partial (-x)}{\partial z}=0,
\frac{\partial F_1}{\partial z}=\frac{\partial y}{\partial z}=0,\qquad \frac{\partial F_3}{\partial x}=\frac{\partial (xyz)}{\partial x}=yz,
\frac{\partial F_2}{\partial x}=\frac{\partial (-x)}{\partial x}=-1,\qquad \frac{\partial F_1}{\partial y}=\frac{\partial y}{\partial y}=1.
Portanto
\nabla\times\vec{F}=(xz,\,-yz,\,-2).
Como o rotacional não é zero, \vec{F} não é conservativo e Stokes é apropriado.

Passo 4

Aplicando Stokes: escolho a superfície S como a parte do plano \displaystyle z=x+2y+3 que está dentro do cilindro \displaystyle x^{2}+y^{2}\le 1. Precisamos calcular
\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot d\vec{S}.
Vou usar a representação do plano como gráfico z=g(x,y)=x+2y+3 e a fórmula do elemento de superfície vetorial:
d\vec{S}=(-g_x,-g_y,1)\,dA,
onde dA é a área no plano xy (essa fórmula dá o vetor de área com a componente z positiva — isto define a orientação de C por convenção de Stokes).

Passo 5

Calcular g_x e g_y. Para g(x,y)=x+2y+3 temos
g_x=1,\qquad g_y=2.
Logo
d\vec{S}=(-1,-2,1)\,dA.
Portanto o integrando é (\nabla\times\vec{F})\cdot d\vec{S}=(xz,-yz,-2)\cdot(-1,-2,1)\,dA.

Passo 6

Calcular o produto escalar e substituir z=g(x,y). Temos
(\nabla\times\vec{F})\cdot(-1,-2,1) = -xz + 2yz -2.
Como na superfície z=x+2y+3, substituímos z:
-x(x+2y+3) + 2y(x+2y+3) -2.
Expandindo e simplificando passo a passo:
-x^2 -2xy -3x + 2xy +4y^2 +6y -2.
Os termos -2xy e +2xy cancelam, sobrando
-x^2 + 4y^2 -3x +6y -2.
Portanto a integral de superfície vira a integral dupla sobre o disco D:\;x^{2}+y^{2}\le 1:
\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot d\vec{S}=\iint_{D}\big(-x^2+4y^2-3x+6y-2\big)\,dA.

Passo 7

Agora vamos calcular a integral sobre o disco unitário. É conveniente usar coordenadas polares:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad dA=r\,dr\,d\theta,
com 0\le r\le 1 e 0\le\theta\le 2\pi.
Substituindo:
-x^2+4y^2-3x+6y-2 = r^2(-\cos^2\theta+4\sin^2\theta) + r(-3\cos\theta+6\sin\theta) -2.
Multiplicando por dA=r\,dr\,d\theta obtemos integranda em termos de r e \theta.

Passo 8

Separar a integral em partes e usar simetria:
  1. Termos lineares em \cos\theta e \sin\theta: as integrais angulares \int_0^{2\pi}\cos\theta\,d\theta e \int_0^{2\pi}\sin\theta\,d\theta são zero, logo a parte proporcional a r(-3\cos\theta+6\sin\theta) contribui com 0.
  2. Parte com r^2: escrevemos
\iint_{D} r^2(-\cos^2\theta+4\sin^2\theta)\,dA = \int_{0}^{2\pi}\big(-\cos^2\theta+4\sin^2\theta\big)\,d\theta \int_{0}^{1} r^3\,dr.
Calculemos separadamente:
\int_{0}^{1} r^3\,dr=\frac{1}{4}.
E para o angular,
-\cos^2\theta+4\sin^2\theta = -1 +5\sin^2\theta,
então
\int_{0}^{2\pi}\big(-\cos^2\theta+4\sin^2\theta\big)\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}(-1)\,d\theta +5\int_{0}^{2\pi}\sin^2\theta\,d\theta = -2\pi +5\pi =3\pi,
pois \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\sin^2\theta\,d\theta=\pi.
Assim a contribuição desta parte é
\frac{1}{4}\cdot 3\pi = \frac{3\pi}{4}.
  1. Parte constante -2: sua contribuição é -2 vezes a área do disco unitário:
\iint_{D}(-2)\,dA = -2\cdot \text{Area}(D) = -2\cdot \pi = -2\pi.
Somando as contribuições: \dfrac{3\pi}{4} + 0 -2\pi = \dfrac{3\pi}{4}-2\pi = -\dfrac{5\pi}{4}.

Passo 9

Interpretação de orientação: usei o vetor de área d\vec{S}=(-1,-2,1)\,dA, que corresponde à normal cuja componente z é positiva (orientação “para cima” da superfície). Pelo Teorema de Stokes, a orientação de C deve ser compatível com essa normal (regra da mão direita). Se alguém escolher a normal oposta, o sinal do resultado se inverte. Como o enunciado não especificou orientação, adotei a orientação induzida pela normal com componente z>0.

Resposta

-\dfrac{5\pi}{4}

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