Calcule
. A curva
é a interseção do cilindro
com o plano
.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular
para
e
sendo a curva fechada dada pela interseção do cilindro
com o plano
.
Informações relevantes dadas:
- O campo vetorial é
. - A curva
é fechada e plana (está contida no plano ). - A projeção de
no plano é o círculo (ou seja, a região interna é o disco unitário).
Passo 2
Escolha do método: como
é uma curva fechada que é contato de um plano com um cilindro (portanto é bordo de uma superfície plana
), o Teorema de Stokes é uma boa opção. Vou verificar se o campo é conservativo (se fosse, a integral seria zero para qualquer curva fechada), mas se não for, usamos Stokes:
Vou calcular
para decidir.
Passo 3
Cálculo do rotacional
. Para
usamos a definição por derivadas parciais:
Calculando termo a termo:
Portanto
Como o rotacional não é zero,
não é conservativo e Stokes é apropriado.
Passo 4
Aplicando Stokes: escolho a superfície
como a parte do plano
que está dentro do cilindro
. Precisamos calcular
Vou usar a representação do plano como gráfico
e a fórmula do elemento de superfície vetorial:
onde
é a área no plano
(essa fórmula dá o vetor de área com a componente
positiva — isto define a orientação de
por convenção de Stokes).
Passo 5
Calcular
e
. Para
temos
Logo
Portanto o integrando é
.
Passo 6
Calcular o produto escalar e substituir
. Temos
Como na superfície
, substituímos
:
Expandindo e simplificando passo a passo:
Os termos
e
cancelam, sobrando
Portanto a integral de superfície vira a integral dupla sobre o disco
:
Passo 7
Agora vamos calcular a integral sobre o disco unitário. É conveniente usar coordenadas polares:
com
e
.
Substituindo:
Multiplicando por
obtemos integranda em termos de
e
.
Passo 8
Separar a integral em partes e usar simetria:
-
Termos lineares em
e : as integrais angulares e são zero, logo a parte proporcional a contribui com . -
Parte com
: escrevemos
Calculemos separadamente:
E para o angular,
então
pois
.
Assim a contribuição desta parte é
Assim a contribuição desta parte é
- Parte constante
: sua contribuição é vezes a área do disco unitário:
Somando as contribuições:
Passo 9
Interpretação de orientação: usei o vetor de área
, que corresponde à normal cuja componente
é positiva (orientação “para cima” da superfície). Pelo Teorema de Stokes, a orientação de
deve ser compatível com essa normal (regra da mão direita). Se alguém escolher a normal oposta, o sinal do resultado se inverte. Como o enunciado não especificou orientação, adotei a orientação induzida pela normal com componente
.