Seja \vec{F}(x, y, z)=\left(z, x+y, y^{2}\right). A curva C é a interseção entre o cilindro \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{4}=1 e o plano z=2. Considere S a região do plano z=2 limitada por essa elipse. Calcule \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha \displaystyle \int_{C} \vec{F}\cdot d\vec{r}, onde a campo vetorial e a curva são dados a seguir. Informações importantes fornecidas:
  • O campo vetorial é \displaystyle \vec{F}(x,y,z)=\left(z,\;x+y,\;y^{2}\right).
  • A curva C é a interseção entre o cilindro \displaystyle \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{4}=1 e o plano \displaystyle z=2. Ou seja, C é uma curva fechada no plano \displaystyle z=2.
  • A região S é a região do plano \displaystyle z=2 limitada por essa curva C (isto é, S é o disco elíptico/curvilíneo cuja fronteira é C).
  • A pergunta é: calcular \displaystyle \int_{C} \vec{F}\cdot d\vec{r}.
Observação: C é uma curva fechada que orienta a fronteira da superfície S. (Não começarei a resolver aqui — só organizei os dados e o que se pede.)

Passo 2

Escolha do método (explicando de forma simples e prática): como C é a fronteira de uma região S plana, é muito natural usar o Teorema de Stokes (ou a versão bidimensional de Green/Stokes) que transforma uma integral de linha sobre a fronteira numa integral de superfície do rotacional sobre a superfície. Isso costuma simplificar muito quando o rotacional tem componente fácil de integrar ou a superfície é simples — como é o caso aqui (plano horizontal). Vou usar esse método porque reduz a integral de linha a uma integral de área sobre S, e a geometria de S é bem simples.

Passo 3

Enunciado do Teorema de Stokes (na forma que usaremos) e o que ele significa. O Teorema de Stokes diz, para uma superfície S com fronteira orientada C=\partial S,
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS,
onde \nabla\times\vec{F} é o rotacional (curl) de \vec{F}, \vec{n} é o versor normal à superfície escolhido de acordo com a orientação de C, e dS é o elemento de área da superfície. Explicando de forma bem direta:
  • \nabla\times\vec{F} mede a “rotação local” do campo.
  • O produto escalar (\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n} é a componente do rotacional na direção normal.
  • Integrando essa componente sobre a superfície, obtemos a integral de linha ao longo da fronteira.
Vou aplicar essa fórmula ao nosso caso.

Passo 4

Calcular o rotacional \nabla\times\vec{F}. Lembrete: se \vec{F}=(F_{1},F_{2},F_{3}), então
\nabla\times\vec{F}=\left(\frac{\partial F_{3}}{\partial y}-\frac{\partial F_{2}}{\partial z},\; \frac{\partial F_{1}}{\partial z}-\frac{\partial F_{3}}{\partial x},\; \frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}\right).
Aqui \displaystyle F_{1}=z,\;F_{2}=x+y,\;F_{3}=y^{2}. Calculando cada derivada:
\frac{\partial F_{3}}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(y^{2})=2y, \qquad \frac{\partial F_{2}}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(x+y)=0,
\frac{\partial F_{1}}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(z)=1, \qquad \frac{\partial F_{3}}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(y^{2})=0,
\frac{\partial F_{2}}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x+y)=1, \qquad \frac{\partial F_{1}}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(z)=0.
Portanto
\nabla\times\vec{F}=(2y,\;1,\;1).

Passo 5

Escolha do versor normal \vec{n} para a superfície S. A superfície S está no plano \displaystyle z=2, que é um plano horizontal. Um versor normal unitário para esse plano é
\vec{n}=(0,0,1)
(se escolhermos a orientação “para cima”). A orientação positiva da curva C é então a orientação contrária ao relógio quando vista do lado positivo do normal (ou seja, vista de cima, sentido anti-horário). Vou usar esse normal \vec{n}=(0,0,1), que é o mais habitual quando não se especifica orientação.

Passo 6

Calcular o integrando da superfície: o produto escalar (\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}.
(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}=(2y,\;1,\;1)\cdot(0,0,1)=1.
Isso é ótimo: o integrando é constante igual a 1. Portanto, pela fórmula de Stokes,
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{S}1\;dS.
Ou seja, a integral de linha é simplesmente a área da região S.

Passo 7

Calcular a área de S. Precisamos entender a região no plano \displaystyle z=2 limitada por C. A equação do cilindro dada é
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{4}=1.
Multiplicando por 4 obtemos
x^{2}+y^{2}=4.
Isso mostra que, na projeção no plano xy (e como o plano z=2 tem mesma coordenada x,y), a curva é um círculo de raio 2. Portanto S é o disco de raio r=2 no plano \displaystyle z=2. A área de um disco é \pi r^{2}, assim
\text{Area}(S)=\pi\cdot 2^{2}=4\pi.
Como vimos no passo anterior, a integral de linha é igual à área de S, então o valor procurado corresponde a 4\pi (considerando a orientação escolhida do passo 5).

Resposta

\;4\pi

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