Seja
. A curva
é a interseção entre o cilindro
e o plano
. Considere
a região do plano
limitada por essa elipse. Calcule
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
, onde a campo vetorial e a curva são dados a seguir. Informações importantes fornecidas:
- O campo vetorial é
. - A curva
é a interseção entre o cilindro e o plano . Ou seja, é uma curva fechada no plano . - A região
é a região do plano limitada por essa curva (isto é, é o disco elíptico/curvilíneo cuja fronteira é ). - A pergunta é: calcular
.
Observação:
é uma curva fechada que orienta a fronteira da superfície
. (Não começarei a resolver aqui — só organizei os dados e o que se pede.)
Passo 2
Escolha do método (explicando de forma simples e prática): como
é a fronteira de uma região
plana, é muito natural usar o Teorema de Stokes (ou a versão bidimensional de Green/Stokes) que transforma uma integral de linha sobre a fronteira numa integral de superfície do rotacional sobre a superfície. Isso costuma simplificar muito quando o rotacional tem componente fácil de integrar ou a superfície é simples — como é o caso aqui (plano horizontal). Vou usar esse método porque reduz a integral de linha a uma integral de área sobre
, e a geometria de
é bem simples.
Passo 3
Enunciado do Teorema de Stokes (na forma que usaremos) e o que ele significa. O Teorema de Stokes diz, para uma superfície
com fronteira orientada
,
onde
é o rotacional (curl) de
,
é o versor normal à superfície escolhido de acordo com a orientação de
, e
é o elemento de área da superfície. Explicando de forma bem direta:
-
mede a “rotação local” do campo. - O produto escalar
é a componente do rotacional na direção normal. - Integrando essa componente sobre a superfície, obtemos a integral de linha ao longo da fronteira.
Vou aplicar essa fórmula ao nosso caso.
Passo 4
Calcular o rotacional
. Lembrete: se
, então
Aqui
. Calculando cada derivada:
Portanto
Passo 5
Escolha do versor normal
para a superfície
. A superfície
está no plano
, que é um plano horizontal. Um versor normal unitário para esse plano é
(se escolhermos a orientação “para cima”). A orientação positiva da curva
é então a orientação contrária ao relógio quando vista do lado positivo do normal (ou seja, vista de cima, sentido anti-horário). Vou usar esse normal
, que é o mais habitual quando não se especifica orientação.
Passo 6
Calcular o integrando da superfície: o produto escalar
.
Isso é ótimo: o integrando é constante igual a
. Portanto, pela fórmula de Stokes,
Ou seja, a integral de linha é simplesmente a área da região
.
Passo 7
Calcular a área de
. Precisamos entender a região no plano
limitada por
. A equação do cilindro dada é
Multiplicando por
obtemos
Isso mostra que, na projeção no plano
(e como o plano
tem mesma coordenada
), a curva é um círculo de raio
. Portanto
é o disco de raio
no plano
. A área de um disco é
, assim
Como vimos no passo anterior, a integral de linha é igual à área de
, então o valor procurado corresponde a
(considerando a orientação escolhida do passo 5).