Considere
. Sijam
e
.
Dediza que:
.
Passo 1
O que o problema dá e pede (colocando tudo de forma clara):
- Tem-se o vetor posição
. - Define-se
. - Define-se o versor radial
.
A questão pede para mostrar que
Observação importante: esta expressão deve ser válida para
(no ponto
há singularidade).
Passo 2
Lembrete da definição que vamos usar (explicando cada coisa):
- O operador divergente em coordenadas cartesianas age componente a componente. Se
, então
- Aqui
tem componentes
ou seja
.
Portanto queremos calcular
Passo 3
Calcular detalhadamente
. Primeiro expresso
e sua derivada:
Agora escrevo
e uso a regra do produto (ou quociente):
Calculo
usando cadeia:
Substituindo:
Junto as frações num denominador comum
:
Passo 4
Pelo mesmo raciocínio (simetria entre
) obtemos:
Explico rapidamente: em cada caso
e
, então a mesma conta da etapa anterior vale trocando as variáveis.
Passo 5
Agora somo as três derivadas para obter a divergência:
Somando numeradores:
Mas
, então o numerador fica
Portanto
válido para
.
Passo 6
Comentário final e observação física/matemática curta:
- A conta mostra claramente que
para . - No ponto
a expressão não é definida (há singularidade no centro), e em distribuições pode aparecer uma contribuição proporcional a dependendo do contexto (isso é uma observação avançada — não necessária para a prova a menos que a questão peça).