Considere \vec{r} \in \mathbb{R}^{3}, \vec{r}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}. Sijam r=\|\vec{r}\| e \hat{r}=\frac{\vec{r}}{r}.
Dediza que:
\vec{\nabla} \cdot \hat{r}=\frac{2}{r}.

Passo 1

O que o problema dá e pede (colocando tudo de forma clara):
  • Tem-se o vetor posição \vec{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}.
  • Define-se r=\|\vec{r}\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
  • Define-se o versor radial \hat{r}=\dfrac{\vec{r}}{r}.
    A questão pede para mostrar que
\vec{\nabla}\cdot\hat{r}=\frac{2}{r}.
Observação importante: esta expressão deve ser válida para r\neq 0 (no ponto r=0 há singularidade).

Passo 2

Lembrete da definição que vamos usar (explicando cada coisa):
  • O operador divergente em coordenadas cartesianas age componente a componente. Se \vec{F}=F_x\hat{i}+F_y\hat{j}+F_z\hat{k}, então
\vec{\nabla}\cdot\vec{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}.
  • Aqui \hat{r} tem componentes
\hat{r}=\frac{\vec{r}}{r}=\frac{x}{r}\hat{i}+\frac{y}{r}\hat{j}+\frac{z}{r}\hat{k},
ou seja F_x=\dfrac{x}{r},\;F_y=\dfrac{y}{r},\;F_z=\dfrac{z}{r}.
Portanto queremos calcular
\vec{\nabla}\cdot\hat{r}=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{x}{r}\right) +\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{y}{r}\right) +\frac{\partial}{\partial z}\!\left(\frac{z}{r}\right).

Passo 3

Calcular detalhadamente \dfrac{\partial}{\partial x}\!\left(\dfrac{x}{r}\right). Primeiro expresso r e sua derivada:
r=(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{1/2}, \qquad \frac{\partial r}{\partial x}=\frac{x}{r}.
Agora escrevo \dfrac{x}{r}=x\,r^{-1} e uso a regra do produto (ou quociente):
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{x}{r}\right) =\frac{\partial}{\partial x}\big(x\,r^{-1}\big) =1\cdot r^{-1}+x\cdot\frac{\partial}{\partial x}\big(r^{-1}\big).
Calculo \dfrac{\partial}{\partial x}(r^{-1}) usando cadeia:
\frac{\partial}{\partial x}\big(r^{-1}\big)=-1\cdot r^{-2}\cdot\frac{\partial r}{\partial x} =-r^{-2}\cdot\frac{x}{r}=-\frac{x}{r^{3}}.
Substituindo:
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{x}{r}\right) =\frac{1}{r}+x\!\left(-\frac{x}{r^{3}}\right) =\frac{1}{r}-\frac{x^{2}}{r^{3}}.
Junto as frações num denominador comum r^{3}:
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{x}{r}\right) =\frac{r^{2}-x^{2}}{r^{3}}.

Passo 4

Pelo mesmo raciocínio (simetria entre x,y,z) obtemos:
\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{y}{r}\right)=\frac{r^{2}-y^{2}}{r^{3}}, \qquad \frac{\partial}{\partial z}\!\left(\frac{z}{r}\right)=\frac{r^{2}-z^{2}}{r^{3}}.
Explico rapidamente: em cada caso \partial r/\partial y = y/r e \partial r/\partial z = z/r, então a mesma conta da etapa anterior vale trocando as variáveis.

Passo 5

Agora somo as três derivadas para obter a divergência:
\vec{\nabla}\cdot\hat{r} =\frac{r^{2}-x^{2}}{r^{3}}+\frac{r^{2}-y^{2}}{r^{3}}+\frac{r^{2}-z^{2}}{r^{3}}.
Somando numeradores:
(r^{2}-x^{2})+(r^{2}-y^{2})+(r^{2}-z^{2}) =3r^{2}-(x^{2}+y^{2}+z^{2}).
Mas x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}, então o numerador fica
3r^{2}-r^{2}=2r^{2}.
Portanto
\vec{\nabla}\cdot\hat{r}=\frac{2r^{2}}{r^{3}}=\frac{2}{r},
válido para r\neq 0.

Passo 6

Comentário final e observação física/matemática curta:
  • A conta mostra claramente que \vec{\nabla}\cdot\hat{r}=\dfrac{2}{r} para r\neq 0.
  • No ponto r=0 a expressão não é definida (há singularidade no centro), e em distribuições pode aparecer uma contribuição proporcional a \delta(\vec r) dependendo do contexto (isso é uma observação avançada — não necessária para a prova a menos que a questão peça).

Resposta

\vec{\nabla}\cdot\hat{r}=\dfrac{2}{r}

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