Calcule as seguintes integrais de linha:
\int_{C}(x d x+y d y-x d z) C é a intersecçāo das superfícies y+z=5 e z=4-x^{2}, do ponto A(2,5,0) ao ponts B(-2,5,0);

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral de linha
\int_{C}\bigl(x\,\mathrm{d}x+y\,\mathrm{d}y-x\,\mathrm{d}z\bigr),
quando C é a curva de interseção das superfícies y+z=5 e z=4-x^{2}, indo do ponto A(2,5,0) até o ponto B(-2,5,0).
Informações relevantes dadas:
  • A curva C é a interseção das superfícies y+z=5 e z=4-x^{2}.
  • Os pontos inicial e final são A(2,5,0) e B(-2,5,0) (portanto o sentido do percurso é de x=2 para x=-2).
  • A integral é do tipo \int_C P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y+R\,\mathrm{d}z com P(x,y,z)=x, Q(x,y,z)=y e R(x,y,z)=-x.

Passo 2

Vamos obter uma parametrização explícita da curva C. A curva satisfaz simultaneamente
z=4-x^{2}\quad\text{e}\quad y+z=5.
Da segunda equação segue y=5-z. Substituindo z=4-x^{2} obtemos
y=5-(4-x^{2})=1+x^{2}.
Uma parametrização natural é tomar x como parâmetro t. Assim definimos
\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))=(t,\;1+t^{2},\;4-t^{2}).
Para reproduzir o sentido do ponto A ao ponto B precisamos de t variando de 2 até -2 (porque em t=2 temos \mathbf{r}(2)=(2,5,0)=A e em t=-2 temos \mathbf{r}(-2)=(-2,5,0)=B).

Passo 3

Calculemos os diferenciais \mathrm{d}x,\mathrm{d}y,\mathrm{d}z em função de \mathrm{d}t. Da parametrização obtemos
\mathrm{d}x=\mathrm{d}t,\qquad \mathrm{d}y=2t\,\mathrm{d}t,\qquad \mathrm{d}z=-2t\,\mathrm{d}t.
Também substituímos x=t e y=1+t^{2} nas expressões P,Q,R.

Passo 4

Substituindo tudo na integral de linha obtemos a integral em t:
\begin{aligned} x\,\mathrm{d}x+y\,\mathrm{d}y-x\,\mathrm{d}z &= t\,\mathrm{d}t + (1+t^{2})(2t\,\mathrm{d}t) - t(-2t\,\mathrm{d}t)\\[4pt] &= \bigl(t + 2t(1+t^{2}) + 2t^{2}\bigr)\mathrm{d}t. \end{aligned}
Agora expandimos 2t(1+t^{2}):
2t(1+t^{2})=2t+2t^{3}.
Portanto o integrando fica
t + (2t+2t^{3}) + 2t^{2} = 3t + 2t^{2} + 2t^{3}.]

Passo 5

A integral pedido é, com os limites em t,
\int_{C}(x\,\mathrm{d}x+y\,\mathrm{d}y-x\,\mathrm{d}z) = \int_{t=2}^{t=-2} \bigl(3t + 2t^{2} + 2t^{3}\bigr)\,\mathrm{d}t.
Podemos calcular diretamente ou usar simetrias. Vou calcular direto, integrando termo a termo:
\int \bigl(3t + 2t^{2} + 2t^{3}\bigr)\,\mathrm{d}t = \frac{3}{2}t^{2} + \frac{2}{3}t^{3} + \frac{1}{2}t^{4} + C.

Passo 6

Avaliaremos a primitiva entre t=2 e t=-2. Primeiro calcule o valor da primitiva em t=-2:
\frac{3}{2}(-2)^{2} + \frac{2}{3}(-2)^{3} + \frac{1}{2}(-2)^{4} = \frac{3}{2}\cdot 4 + \frac{2}{3}\cdot(-8) + \frac{1}{2}\cdot 16 = 6 - \frac{16}{3} + 8 = \frac{26}{3}.
Em t=2:
\frac{3}{2}(2)^{2} + \frac{2}{3}(2)^{3} + \frac{1}{2}(2)^{4} = 6 + \frac{16}{3} + 8 = \frac{58}{3}.
Subtraindo (valor em -2 menos valor em 2) para os limites 2\to -2:
\int_{2}^{-2} (3t+2t^{2}+2t^{3})\,\mathrm{d}t = \frac{26}{3} - \frac{58}{3} = -\frac{32}{3}.

Passo 7

Como checagem rápida: os termos ímpares 3t e 2t^{3} se cancelariam se integrássemos simetricamente de -2 a 2; o único contribuinte par é 2t^{2}, cuja integral de -2 a 2 é
\int_{-2}^{2} 2t^{2}\,\mathrm{d}t = 2\cdot\frac{2\cdot 2^{3}}{3}=\frac{32}{3},
mas como o nosso percurso vai de 2 a -2 o sinal inverte, dando -\dfrac{32}{3}, o mesmo resultado obtido acima. Boa consistência.

Resposta

-\dfrac{32}{3}

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