Calcule as seguintes integrais de linha:
C é a intersecçāo das superfícies
e
, do ponto
ao ponts
;
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral de linha
quando
é a curva de interseção das superfícies
e
, indo do ponto
até o ponto
.
Informações relevantes dadas:
- A curva
é a interseção das superfícies e . - Os pontos inicial e final são
e (portanto o sentido do percurso é de para ). - A integral é do tipo
com , e .
Passo 2
Vamos obter uma parametrização explícita da curva
. A curva satisfaz simultaneamente
Da segunda equação segue
. Substituindo
obtemos
Uma parametrização natural é tomar
como parâmetro
. Assim definimos
Para reproduzir o sentido do ponto
ao ponto
precisamos de
variando de
até
(porque em
temos
e em
temos
).
Passo 3
Calculemos os diferenciais
em função de
. Da parametrização obtemos
Também substituímos
e
nas expressões
.
Passo 4
Substituindo tudo na integral de linha obtemos a integral em
:
Agora expandimos
:
Portanto o integrando fica
Passo 5
A integral pedido é, com os limites em
,
Podemos calcular diretamente ou usar simetrias. Vou calcular direto, integrando termo a termo:
Passo 6
Avaliaremos a primitiva entre
e
. Primeiro calcule o valor da primitiva em
:
Em
:
Subtraindo (valor em
menos valor em
) para os limites
:
Passo 7
Como checagem rápida: os termos ímpares
e
se cancelariam se integrássemos simetricamente de
a
; o único contribuinte par é
, cuja integral de
a
é
mas como o nosso percurso vai de
a
o sinal inverte, dando
, o mesmo resultado obtido acima. Boa consistência.