Considere o campo de forca central \vec{g}(x, y, z)=f(\|\vec{r}\|) \vec{r}, onde f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} é uma função derivível e \vec{r}=x \hat{\imath}+y \hat{\jmath}+z \hat{k}. Deduza que \vec{\nabla} \times \vec{g}=\overrightarrow{0}, \forall(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado dá claramente:
  • O campo de força é \vec{g}(x,y,z)=f(\|\vec{r}\|)\,\vec{r}, onde \vec{r}=x\hat{\imath}+y\hat{\jmath}+z\hat{k}.
  • A norma de \vec{r} é \|\vec{r}\|=r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
  • A função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é derivável (ou seja, f tem derivada f' em todos os pontos reais).
O que se pede:
  • Mostrar que \vec{\nabla}\times\vec{g}=\overrightarrow{0} para todo ponto (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão explícita de \vec{g} em termos de x,y,z via r.
  • A diferenciabilidade de f, que permite usar a regra da cadeia para derivar f(r).
  • O valor \vec{g}(\mathbf{0})=f(0)\,\mathbf{0}=\mathbf{0}.

Passo 2

Escrevendo as componentes de \vec{g} em coordenadas cartesianas:
\vec{g}(x,y,z)=\bigl(g_{x},g_{y},g_{z}\bigr) \quad\text{com}\quad g_{x}=f(r)\,x,\; g_{y}=f(r)\,y,\; g_{z}=f(r)\,z,
onde r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Comentário didático rápido: aqui estamos apenas multiplicando a função escalar f(r) pela componente correspondente de \vec{r}. Isso já deixa explícito que cada componente de \vec{g} depende de x,y,z através de r e do fator multiplicativo x,y ou z.

Passo 3

Recordando a definição das componentes do rotacional (curl) em coordenadas cartesianas:
\vec{\nabla}\times\vec{g} = \left( \frac{\partial g_{z}}{\partial y}-\frac{\partial g_{y}}{\partial z},\; \frac{\partial g_{x}}{\partial z}-\frac{\partial g_{z}}{\partial x},\; \frac{\partial g_{y}}{\partial x}-\frac{\partial g_{x}}{\partial y} \right).
Também vamos usar a regra da cadeia: se temos uma composição h(x,y,z)=f(r(x,y,z)), então
\frac{\partial}{\partial x}f(r)=f'(r)\frac{\partial r}{\partial x}.
E a derivada de r em relação a x (para r>0) é
\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{x}{r},
e analogamente \partial r/\partial y=y/r, \partial r/\partial z=z/r.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais necessárias (para pontos com r>0). Vamos mostrar explicitamente a primeira componente do rotacional; as outras seguem do mesmo padrão por simetria.
Primeira componente:
(\vec{\nabla}\times\vec{g})_{x} = \frac{\partial g_{z}}{\partial y}-\frac{\partial g_{y}}{\partial z}.
Agora derivamos cada termo usando produto e regra da cadeia:
\frac{\partial g_{z}}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(f(r)\,z\bigr) = f'(r)\frac{\partial r}{\partial y}\,z + f(r)\frac{\partial z}{\partial y}.
Mas \partial z/\partial y=0, e \partial r/\partial y=y/r. Logo
\frac{\partial g_{z}}{\partial y}=f'(r)\frac{y}{r}\,z.
Analogamente,
\frac{\partial g_{y}}{\partial z} =\frac{\partial}{\partial z}\bigl(f(r)\,y\bigr) = f'(r)\frac{\partial r}{\partial z}\,y + f(r)\frac{\partial y}{\partial z} = f'(r)\frac{z}{r}\,y.
Subtraindo os dois resultados:
\frac{\partial g_{z}}{\partial y}-\frac{\partial g_{y}}{\partial z} = f'(r)\biggl(\frac{y z}{r}-\frac{z y}{r}\biggr) = f'(r)\cdot 0 = 0.
Portanto (\vec{\nabla}\times\vec{g})_{x}=0 para r>0.

Passo 5

Pelo mesmo cálculo por simetria (permuta ciclicamente x,y,z) obtemos as outras duas componentes também nulas para r>0:
(\vec{\nabla}\times\vec{g})_{y}=0,\qquad (\vec{\nabla}\times\vec{g})_{z}=0.
Concluímos que para todo ponto com r>0 vale \vec{\nabla}\times\vec{g}=\overrightarrow{0}.
Comentário didático: o que aconteceu algebraicamente foi que, ao aplicar produto e regra da cadeia, os dois termos de cada componente do rotacional foram iguais e com sinais contrários, cancelando-se. Isso é típico de campos radiais do tipo f(r)\vec{r}.

Passo 6

Verificação no ponto (0,0,0). Precisamos garantir que o resultado também vale no ponto de origem. Observe:
  • No ponto \mathbf{0} temos \vec{g}(\mathbf{0})=f(0)\,\mathbf{0}=\mathbf{0}.
  • Para calcular as derivadas parciais mistas em \mathbf{0} usadas no rotacional, usemos a definição por diferença de quocientes. Por exemplo,
\frac{\partial g_{x}}{\partial y}(0,0,0) = \lim_{h\to 0}\frac{g_{x}(0,h,0)-g_{x}(0,0,0)}{h}.
Mas g_{x}(0,h,0)=f(|h|)\cdot 0=0 para todo h, então o quociente é identicamente 0 e o limite é 0. Fazendo o mesmo para todas as derivadas mistas que aparecem no rotacional obtemos zeros também. Assim as três componentes do rotacional em \mathbf{0} são 0.
Outra forma rápida de ver isso: próximo da origem f(r) é contínua (pois f é derivável) e g_{x}=f(r)x é da ordem de grandeza de x (mais precisamente g_{x}=f(0)\,x+o(r)). Isso implica que as derivadas mistas cruzadas em zero existem e valem zero, levando ao rotacional nulo.

Passo 7

Conclusão final combinando os casos:
  • Para r>0 mostramos algebraicamente que cada componente do rotacional é zero.
  • No ponto r=0 mostramos por diferença de quocientes (ou por comportamento assintótico) que as derivadas pertinentes existem e o rotacional também é zero.
Portanto \vec{\nabla}\times\vec{g}=\overrightarrow{0} em todo \mathbb{R}^{3}.

Resposta

\vec{\nabla}\times\vec{g}=\overrightarrow{0}

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