Considere o campo de forca central
, onde
é uma função derivível e
. Deduza que
.
Passo 1
O enunciado dá claramente:
- O campo de força é
, onde . - A norma de
é . - A função
é derivável (ou seja, tem derivada em todos os pontos reais).
O que se pede:
- Mostrar que
para todo ponto .
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão explícita de
em termos de via . - A diferenciabilidade de
, que permite usar a regra da cadeia para derivar . - O valor
.
Passo 2
Escrevendo as componentes de
em coordenadas cartesianas:
onde
.
Comentário didático rápido: aqui estamos apenas multiplicando a função escalar
pela componente correspondente de
. Isso já deixa explícito que cada componente de
depende de
através de
e do fator multiplicativo
ou
.
Passo 3
Recordando a definição das componentes do rotacional (curl) em coordenadas cartesianas:
Também vamos usar a regra da cadeia: se temos uma composição
, então
E a derivada de
em relação a
(para
) é
e analogamente
,
.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais necessárias (para pontos com
). Vamos mostrar explicitamente a primeira componente do rotacional; as outras seguem do mesmo padrão por simetria.
Primeira componente:
Agora derivamos cada termo usando produto e regra da cadeia:
Mas
, e
. Logo
Analogamente,
Subtraindo os dois resultados:
Portanto
para
.
Passo 5
Pelo mesmo cálculo por simetria (permuta ciclicamente
) obtemos as outras duas componentes também nulas para
:
Concluímos que para todo ponto com
vale
.
Comentário didático: o que aconteceu algebraicamente foi que, ao aplicar produto e regra da cadeia, os dois termos de cada componente do rotacional foram iguais e com sinais contrários, cancelando-se. Isso é típico de campos radiais do tipo
.
Passo 6
Verificação no ponto
. Precisamos garantir que o resultado também vale no ponto de origem. Observe:
- No ponto
temos . - Para calcular as derivadas parciais mistas em
usadas no rotacional, usemos a definição por diferença de quocientes. Por exemplo,
Mas
para todo
, então o quociente é identicamente
e o limite é
. Fazendo o mesmo para todas as derivadas mistas que aparecem no rotacional obtemos zeros também. Assim as três componentes do rotacional em
são
.
Outra forma rápida de ver isso: próximo da origem
é contínua (pois
é derivável) e
é da ordem de grandeza de
(mais precisamente
). Isso implica que as derivadas mistas cruzadas em zero existem e valem zero, levando ao rotacional nulo.
Passo 7
Conclusão final combinando os casos:
- Para
mostramos algebraicamente que cada componente do rotacional é zero. - No ponto
mostramos por diferença de quocientes (ou por comportamento assintótico) que as derivadas pertinentes existem e o rotacional também é zero.
Portanto
em todo
.