Considere o vetor aleatório ( X, Y ) com distribuição normal bivariada, com
\begin{gathered} \mu_{X}=50 ; \mu_{Y}=60 \\\ \sigma_{X}=0,10 ; \sigma_{Y}=0,64 \\\ \operatorname{COV}(X, Y)=0,03 \end{gathered}
i) Calcule o coeficiente de correlação linear entre X e Y;
ii) Determine a distribuição marginal de X;
iii) Determine a distribuição condicional de Y \mid X=55;
iv) Calcule a probabilidade P(X>60 \mid Y=70).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • \mu_{X}=50
    • \mu_{Y}=60
    • \sigma_{X}=0,10
    • \sigma_{Y}=0,64
    • \operatorname{COV}(X,Y)=0,03
  • Perguntas:
    i) Calcular o coeficiente de correlação linear entre X e Y.
    ii) Determinar a distribuição marginal de X.
    iii) Determinar a distribuição condicional de Y \mid X=55.
    iv) Calcular a probabilidade P(X>60 \mid Y=70).

Passo 2

Vamos ao item (i): definir e calcular o coeficiente de correlação linear.
  • Definição / fórmula: o coeficiente de correlação linear de Pearson entre X e Y é
\rho_{XY}=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\,\sigma_Y}.
Aqui \operatorname{Cov}(X,Y) é a covariância entre X e Y; \sigma_X e \sigma_Y são os desvios padrão de X e Y.
  • Substituindo os números dados:
    • Primeiro calcule o produto dos desvios padrão:
    \sigma_X\,\sigma_Y = 0,10 \times 0,64 = 0,064.
    • Agora a correlação:
    \rho_{XY}=\frac{0,03}{0,064}=0,46875.
  • Interpretação curta (útil na prova): \rho_{XY} varia entre -1 e 1; aqui \rho_{XY}\approx 0,469 indica correlação positiva moderada.

Passo 3

Item (ii): distribuição marginal de X.
  • Propriedade importante (explicada): para um vetor com distribuição normal bivariada, cada componente marginal também tem distribuição normal univariada. Ou seja, independentemente da covariância, a marginal de X é normal com média \mu_X e variância \sigma_X^2.
  • Aplicando aos dados:
    • A média é \mu_X=50.
    • A variância é \sigma_X^2=(0,10)^2=0,01.
  • Conclusão:
X \sim \mathcal{N}\bigl(50,\,0,01\bigr).

Passo 4

Item (iii): distribuição condicional de Y\mid X=55.
  • Fórmulas gerais para a distribuição condicional numa normal bivariada:
    • A esperança condicional (média condicional) é
    \mathbb{E}[Y\mid X=x]=\mu_Y+\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sigma_X^{2}}\,(x-\mu_X).
    • A variância condicional é
    \operatorname{Var}(Y\mid X=x)=\sigma_Y^{2}-\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)^{2}}{\sigma_X^{2}}.
    • E Y\mid X=x é normal: Y\mid X=x\sim\mathcal{N}\bigl(\mathbb{E}[Y\mid X=x],\,\operatorname{Var}(Y\mid X=x)\bigr).
  • Aplicando com x=55:
    • Calcule \sigma_X^{2}=(0,10)^2=0,01.
    • Coeficiente \dfrac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sigma_X^{2}}=\dfrac{0,03}{0,01}=3.
    • Média condicional:
    \mathbb{E}[Y\mid X=55]=60+3\,(55-50)=60+3\cdot 5=60+15=75.
    • Variância condicional:
      • Primeiro \sigma_Y^{2}=(0,64)^2=0,4096.
      • \operatorname{Cov}(X,Y)^{2}=(0,03)^2=0,0009.
      • Dividindo: \dfrac{0,0009}{0,01}=0,09.
      • Então
      \operatorname{Var}(Y\mid X=55)=0,4096-0,09=0,3196.
    • Desvio-padrão condicional aproximado:
    \sqrt{0,3196}\approx 0,5654.
  • Conclusão:
Y\mid X=55 \sim \mathcal{N}\bigl(75,\,0,3196\bigr).

Passo 5

Item (iv): calcular P(X>60 \mid Y=70).
  • Usamos a distribuição condicional de X dado Y=y. As fórmulas são as mesmas trocando papéis:
    • Média condicional
    \mathbb{E}[X\mid Y=y]=\mu_X+\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sigma_Y^{2}}\,(y-\mu_Y).
    • Variância condicional
    \operatorname{Var}(X\mid Y=y)=\sigma_X^{2}-\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)^{2}}{\sigma_Y^{2}}.
    • E X\mid Y=y é normal.
  • Aplicando com y=70:
    • \sigma_Y^{2}=(0,64)^2=0,4096.
    • Coeficiente \dfrac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sigma_Y^{2}}=\dfrac{0,03}{0,4096}\approx 0,0732421875.
    • Média condicional:
    \mathbb{E}[X\mid Y=70]=50+0,0732421875\,(70-60)=50+0,0732421875\cdot 10 =50+0,732421875=50,732421875.
    • Variância condicional:
      • \operatorname{Cov}(X,Y)^{2}=0,0009.
      • \dfrac{0,0009}{0,4096}\approx 0,002197265625.
      • \operatorname{Var}(X\mid Y=70)=0,01-0,002197265625=0,007802734375.
    • Desvio-padrão condicional aproximado:
    \sqrt{0,007802734375}\approx 0,088334.
  • Agora calculamos a probabilidade:
    • Se X\mid Y=70\sim\mathcal{N}\bigl(50,732421875,\,0,007802734375\bigr), então
    P(X>60\mid Y=70)=1-\Phi\!\left(\frac{60-\mathbb{E}[X\mid Y=70]}{\sqrt{\operatorname{Var}(X\mid Y=70)}}\right).
    • Calcule o z-score:
    z=\frac{60-50,732421875}{0,088334}\approx\frac{9,267578125}{0,088334}\approx 104,9.
    • Um z tão grande significa que \Phi(z) é praticamente 1, logo a cauda superior é praticamente 0. Numericamente,
    P(X>60\mid Y=70)\approx 1-\Phi(104,9)\approx 0.
    • Em palavras: condicionado a Y=70 a média de X sobe só para \approx 50,73 e a variabilidade condicional é pequena ( \text{dp}\approx 0,088), então ser maior que 60 é astronomicamente improvável.

Resposta

i) 0,46875
ii) X \sim \mathcal{N}\bigl(50,\,0,01\bigr)
iii) Y\mid X=55 \sim \mathcal{N}\bigl(75,\,0,3196\bigr)
iv) P(X>60\mid Y=70)\approx 0

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