Considere o vetor aleatório (
) com distribuição normal bivariada, com
i) Calcule o coeficiente de correlação linear entre
e
;
ii) Determine a distribuição marginal de
;
iii) Determine a distribuição condicional de
;
iv) Calcule a probabilidade
.
ii) Determine a distribuição marginal de
iii) Determine a distribuição condicional de
iv) Calcule a probabilidade
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
-
-
Perguntas:
i) Calcular o coeficiente de correlação linear entree .
ii) Determinar a distribuição marginal de.
iii) Determinar a distribuição condicional de.
iv) Calcular a probabilidade.
Passo 2
Vamos ao item (i): definir e calcular o coeficiente de correlação linear.
- Definição / fórmula: o coeficiente de correlação linear de Pearson entre
e é
Aqui
é a covariância entre
e
;
e
são os desvios padrão de
e
.
-
Substituindo os números dados:
- Primeiro calcule o produto dos desvios padrão:
- Agora a correlação:
-
Interpretação curta (útil na prova):
varia entre e ; aqui indica correlação positiva moderada.
Passo 3
Item (ii): distribuição marginal de
.
-
Propriedade importante (explicada): para um vetor com distribuição normal bivariada, cada componente marginal também tem distribuição normal univariada. Ou seja, independentemente da covariância, a marginal de
é normal com média e variância . -
Aplicando aos dados:
- A média é
. - A variância é
.
- A média é
-
Conclusão:
Passo 4
Item (iii): distribuição condicional de
.
-
Fórmulas gerais para a distribuição condicional numa normal bivariada:
- A esperança condicional (média condicional) é
- A variância condicional é
- E
é normal: .
-
Aplicando com
: - Calcule
. - Coeficiente
. - Média condicional:
- Variância condicional:
- Primeiro
. -
. - Dividindo:
. - Então
- Primeiro
- Desvio-padrão condicional aproximado:
- Calcule
-
Conclusão:
Passo 5
Item (iv): calcular
.
-
Usamos a distribuição condicional de
dado . As fórmulas são as mesmas trocando papéis: - Média condicional
- Variância condicional
- E
é normal.
-
Aplicando com
: -
. - Coeficiente
. - Média condicional:
- Variância condicional:
-
. -
. -
-
- Desvio-padrão condicional aproximado:
-
-
Agora calculamos a probabilidade:
- Se
, então
- Calcule o
-score:
- Um
tão grande significa que é praticamente , logo a cauda superior é praticamente . Numericamente,
- Em palavras: condicionado a
a média de sobe só para e a variabilidade condicional é pequena ( ), então ser maior que é astronomicamente improvável.
- Se
Resposta
i)
ii)
iii)
iv)