Considere a transformação de variáveis (x, y) para (u, v) definida por:
u=x+y, \quad v=x-y
Suponha que a função densidade conjunta de X e Y seja
f_{X, Y}(x, y)=1, \quad 0<x<1,0<y<1
Encontre a densidade conjunta de U e V.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
Transformação entre variáveis:
u = x + y,\qquad v = x - y.
Densidade conjunta de (X,Y):
f_{X,Y}(x,y)=1,\quad 0<x<1,\;0<y<1.
Pergunta: encontrar a densidade conjunta de (U,V), isto é f_{U,V}(u,v).
Passo 2
Achar a transformação inversa (u,v)\mapsto(x,y).
Resolver o sistema linear para x e y. Somando e subtraindo as equações:
u+v=(x+y)+(x-y)=2x, \qquad u-v=(x+y)-(x-y)=2y.
Portanto as fórmulas inversas são
x=\frac{u+v}{2},\qquad y=\frac{u-v}{2}.
Explanação curta: é só resolver um sistema 2×2; cada variável aparece linearmente, então a inversa é obtida por combinações lineares simples.
Passo 3
Calcular o Jacobiano absoluto da transformação inversa e explicar por que usamos isso.
Definição prática: ao mudar variáveis numa densidade conjunta, multiplica-se pela magnitude do determinante da matriz jacobiana de (x,y) em relação a (u,v):
Breve intuição: esse fator corrige a área quando passamos de coordenadas (u,v) para (x,y); aqui pequenas áreas em (u,v) correspondem a metade em (x,y), por isso o fator 1/2.]
Passo 4
Determinar o suporte (a região onde [f_{U,V}) é não nula) aplicando as restrições 0<x<1 e 0<y<1 às expressões inversas.
Substituir x=\dfrac{u+v}{2} e y=\dfrac{u-v}{2} nas desigualdades:
Reescrevendo como limites para v\] (fixando um \(u):
-u < v < 2-u \quad\text{e}\quad u-2 < v < u.
Interseção dessas duas faixas dá os limites reais para v:
\max(-u,\,u-2) < v < \min(2-u,\,u).
Observando os casos em u:
Se 0<u<1, então \max(-u,u-2)=-u e \min(2-u,u)=u. Logo para 0<u<1 vale
-u < v < u.
Se 1<u<2, então \max(-u,u-2)=u-2 e \min(2-u,u)=2-u. Logo para 1<u<2 vale
u-2 < v < 2-u.
Em resumo, o suporte é a região em forma de losango dada por
0<u<2,\qquad |v|<\min(u,\,2-u).
Comentário intuitivo: a transformação leva o quadrado unitário (0,1)\times(0,1) para um losango centrado em u=1,v=0 com amplitude total em u igual a 2 e em v igual a 2.]
Passo 5
Montar a densidade conjunta f_{U,V}(u,v) usando o que já temos.
Como f_{X,Y}(x,y)=1 no quadrado e zero fora, então dentro do suporte f_{X,Y}\big(x(u,v),y(u,v)\big)=1.
Pelo fator jacobiano \tfrac12, obtemos que dentro do losango
f_{U,V}(u,v)=\frac{1}{2}.
Fora dessa região, f_{U,V}(u,v)=0.
Passo 6
Checagem rápida de consistência (opcional, mas útil para confiar no resultado).