Considere a transformação de variáveis (x, y) para (u, v) definida por:
u=x+y, \quad v=x-y
Suponha que a função densidade conjunta de X e Y seja
f_{X, Y}(x, y)=1, \quad 0<x<1,0<y<1
Encontre a densidade conjunta de U e V.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Transformação entre variáveis:
u = x + y,\qquad v = x - y.
  • Densidade conjunta de (X,Y):
f_{X,Y}(x,y)=1,\quad 0<x<1,\;0<y<1.
  • Pergunta: encontrar a densidade conjunta de (U,V), isto é f_{U,V}(u,v).

Passo 2

Achar a transformação inversa (u,v)\mapsto(x,y).
  • Resolver o sistema linear para x e y. Somando e subtraindo as equações:
u+v=(x+y)+(x-y)=2x, \qquad u-v=(x+y)-(x-y)=2y.
  • Portanto as fórmulas inversas são
x=\frac{u+v}{2},\qquad y=\frac{u-v}{2}.
Explanação curta: é só resolver um sistema 2×2; cada variável aparece linearmente, então a inversa é obtida por combinações lineares simples.

Passo 3

Calcular o Jacobiano absoluto da transformação inversa e explicar por que usamos isso.
  • Definição prática: ao mudar variáveis numa densidade conjunta, multiplica-se pela magnitude do determinante da matriz jacobiana de (x,y) em relação a (u,v):
f_{U,V}(u,v)=f_{X,Y}\big(x(u,v),y(u,v)\big)\cdot\left|\det\!\left(\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right)\right|.
  • Calcular a matriz jacobiana:
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{pmatrix} \partial x/\partial u & \partial x/\partial v\\[4pt] \partial y/\partial u & \partial y/\partial v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2}\\[6pt] \dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} \end{pmatrix}.
  • Determinante:
\det\!\begin{pmatrix}\tfrac12 & \tfrac12\\[4pt]\tfrac12 & -\tfrac12\end{pmatrix} =\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}.
  • Logo o módulo vale
\left|\det\!\left(\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right)\right|=\frac{1}{2}.
Breve intuição: esse fator corrige a área quando passamos de coordenadas (u,v) para (x,y); aqui pequenas áreas em (u,v) correspondem a metade em (x,y), por isso o fator 1/2.]

Passo 4

Determinar o suporte (a região onde [f_{U,V}) é não nula) aplicando as restrições 0<x<1 e 0<y<1 às expressões inversas.
  • Substituir x=\dfrac{u+v}{2} e y=\dfrac{u-v}{2} nas desigualdades:
0<\frac{u+v}{2}<1 \quad\Longleftrightarrow\quad 0<u+v<2,
0<\frac{u-v}{2}<1 \quad\Longleftrightarrow\quad 0<u-v<2.
  • Essas duas condições juntas equivalem a:
\begin{cases} 0<u+v<2,\\[4pt] 0<u-v<2. \end{cases}
  • Reescrevendo como limites para v\] (fixando um \(u):
-u < v < 2-u \quad\text{e}\quad u-2 < v < u.
  • Interseção dessas duas faixas dá os limites reais para v:
\max(-u,\,u-2) < v < \min(2-u,\,u).
  • Observando os casos em u:
    • Se 0<u<1, então \max(-u,u-2)=-u e \min(2-u,u)=u. Logo para 0<u<1 vale
    -u < v < u.
    • Se 1<u<2, então \max(-u,u-2)=u-2 e \min(2-u,u)=2-u. Logo para 1<u<2 vale
    u-2 < v < 2-u.
  • Em resumo, o suporte é a região em forma de losango dada por
0<u<2,\qquad |v|<\min(u,\,2-u).
Comentário intuitivo: a transformação leva o quadrado unitário (0,1)\times(0,1) para um losango centrado em u=1,v=0 com amplitude total em u igual a 2 e em v igual a 2.]

Passo 5

Montar a densidade conjunta f_{U,V}(u,v) usando o que já temos.
  • Como f_{X,Y}(x,y)=1 no quadrado e zero fora, então dentro do suporte f_{X,Y}\big(x(u,v),y(u,v)\big)=1.
  • Pelo fator jacobiano \tfrac12, obtemos que dentro do losango
f_{U,V}(u,v)=\frac{1}{2}.
  • Fora dessa região, f_{U,V}(u,v)=0.

Passo 6

Checagem rápida de consistência (opcional, mas útil para confiar no resultado).
  • Área do losango (suporte) é 2. De fato:
\text{Área}=\int_{0}^{1}2u\,du+\int_{1}^{2}2(2-u)\,du=1+1=2.Á
  • Integrando a densidade obtida sobre o suporte:
\iint_{\text{suporte}} \frac{1}{2}\,du\,dv = \frac{1}{2}\times \text{Área} = \frac{1}{2}\times 2 = 1,Á
o que confirma que é uma densidade válida (total de probabilidade igual a 1).

Resposta

f_{U,V}(u,v)= \begin{cases} \dfrac{1}{2}, & 0<u<2\text{ e }|v|<\min(u,\,2-u),\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á]

Exercícios relacionados