Uma fábrica produz três tipos de lâmpadas: LED, fluorescente e incandescente. Sabe-se que, em média,
das lâmpadas produzidas são do tipo LED,
são fluorescentes e
são incandescentes.
Considere um lote com 10 lâmpadas selecionadas aleatoriamente da produção diária.
i) Qual é a probabilidade de que exatamente 5 lâmpadas sejam LED, 3 sejam fluorescentes e 2 sejam incandescentes?
ii) Identifique a distribuição de probabilidade adequada para modelar esse experimento e justifique.
i) Qual é a probabilidade de que exatamente 5 lâmpadas sejam LED, 3 sejam fluorescentes e 2 sejam incandescentes?
ii) Identifique a distribuição de probabilidade adequada para modelar esse experimento e justifique.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede (sem resolver ainda).
- Temos três tipos de lâmpadas com probabilidades médias na produção diária:
-
(isto é, ), -
(isto é, ), -
(isto é, ).
-
- Seleciona-se aleatoriamente um lote com
lâmpadas. - Perguntas:
i) Qual é a probabilidade de que exatamentesejam LED, sejam fluorescentes e sejam incandescentes?
ii) Identificar a distribuição de probabilidade adequada para modelar esse experimento e justificá-la.
Passo 2
Escolhendo e justificando a distribuição apropriada (visão geral didática).
- Pense no experimento como
repetições independentes de uma mesma experiência: cada lâmpada selecionada cai em exatamente uma das três categorias (LED, fluorescente, incandescente) com probabilidades constantes . - Quando há mais de duas categorias (aqui são três) e queremos a probabilidade de obter contagens específicas
com , a distribuição adequada é a distribuição multinomial, que generaliza a binomial para várias categorias. - Portanto, a distribuição apropriada é a multinomial. Mais adiante explico a fórmula e aplico ao caso numérico.
Passo 3
Fórmula da distribuição multinomial e explicação das suas partes.
- Sejam
ensaios independentes, categorias com probabilidades fixas e contagens (sendo ). A probabilidade multinomial é dada por:
- Interpretação:
-
conta as permutações de ensaios; - Dividir por
para cada categoria remove a contagem das permutações entre itens idênticos dentro da mesma categoria (pois não distinguimos a ordem entre as lâmpadas que são ambas LED, por exemplo); - O produto
é a probabilidade de uma sequência específica com exatamente essas contagens em posições fixas.
-
- No nosso caso
, , , , , , , . Substituindo:
Passo 4
Calcular o coeficiente multinomial
passo a passo.
- Valores de fatoriais:
-
. -
. -
. -
.
-
- Produto no denominador:
. - Coeficiente:
- (Interpretação curta: há
maneiras distintas de distribuir 5 LEDs, 3 fluorescentes e 2 incandescentes entre as 10 posições.)
Passo 5
Calcular as potências das probabilidades e o produto final (fazer na forma fracionária para exatidão, depois decimal).
- Representações fracionárias:
-
. -
. -
.
-
- Produto das probabilidades:
- Multiplicando pelo coeficiente:
- Simplificando a fração: dividir numerador e denominador por
dá . - Decimal aproximado:
- Assim, a probabilidade desejada é
(ou cerca de ).
Passo 6
Conclusão final e interpretação rápida (o que isso significa na prática).
- A probabilidade de, num lote de
lâmpadas escolhidas aleatoriamente, ocorrer exatamente a combinação LED, fluorescentes e incandescentes é aproximadamente , ou seja, cerca de . - A distribuição usada é a multinomial, porque temos um número fixo de ensaios, resultados em categorias mutuamente exclusivas, probabilidades constantes e ensaios independentes — exatamente as hipóteses da multinomial.
Resposta
i)
ii) Distribuição multinomial, pois são ensaios independentes em
categorias com probabilidades constantes
,
,
, e queremos a probabilidade de contagens específicas
.
ii) Distribuição multinomial, pois são