Uma fábrica produz três tipos de lâmpadas: LED, fluorescente e incandescente. Sabe-se que, em média, 50 \% das lâmpadas produzidas são do tipo LED, 30 \% são fluorescentes e 20 \% são incandescentes.
Considere um lote com 10 lâmpadas selecionadas aleatoriamente da produção diária.
i) Qual é a probabilidade de que exatamente 5 lâmpadas sejam LED, 3 sejam fluorescentes e 2 sejam incandescentes?
ii) Identifique a distribuição de probabilidade adequada para modelar esse experimento e justifique.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede (sem resolver ainda).
  • Temos três tipos de lâmpadas com probabilidades médias na produção diária:
    • p_{\text{LED}} = 0,5 (isto é, 50\%),
    • p_{\text{F}} = 0,3 (isto é, 30\%),
    • p_{\text{I}} = 0,2 (isto é, 20\%).
  • Seleciona-se aleatoriamente um lote com n=10 lâmpadas.
  • Perguntas:
    i) Qual é a probabilidade de que exatamente 5 sejam LED, 3 sejam fluorescentes e 2 sejam incandescentes?
    ii) Identificar a distribuição de probabilidade adequada para modelar esse experimento e justificá-la.

Passo 2

Escolhendo e justificando a distribuição apropriada (visão geral didática).
  • Pense no experimento como n=10 repetições independentes de uma mesma experiência: cada lâmpada selecionada cai em exatamente uma das três categorias (LED, fluorescente, incandescente) com probabilidades constantes p_{\text{LED}},p_{\text{F}},p_{\text{I}}.
  • Quando há mais de duas categorias (aqui são três) e queremos a probabilidade de obter contagens específicas (k_{\text{LED}},k_{\text{F}},k_{\text{I}}) com k_{\text{LED}}+k_{\text{F}}+k_{\text{I}}=n, a distribuição adequada é a distribuição multinomial, que generaliza a binomial para várias categorias.
  • Portanto, a distribuição apropriada é a multinomial. Mais adiante explico a fórmula e aplico ao caso numérico.

Passo 3

Fórmula da distribuição multinomial e explicação das suas partes.
  • Sejam n ensaios independentes, m categorias com probabilidades fixas p_1,\dots,p_m e contagens k_1,\dots,k_m (sendo \sum_{i=1}^m k_i=n). A probabilidade multinomial é dada por:
\Pr(K_1=k_1,\dots,K_m=k_m)=\frac{n!}{k_1!\,k_2!\cdots k_m!}\;p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdots p_m^{k_m}.
  • Interpretação:
    • n! conta as permutações de n ensaios;
    • Dividir por k_i! para cada categoria remove a contagem das permutações entre itens idênticos dentro da mesma categoria (pois não distinguimos a ordem entre as lâmpadas que são ambas LED, por exemplo);
    • O produto p_1^{k_1}\cdots p_m^{k_m} é a probabilidade de uma sequência específica com exatamente essas contagens em posições fixas.
  • No nosso caso m=3, n=10, k_{\text{LED}}=5, k_{\text{F}}=3, k_{\text{I}}=2, p_{\text{LED}}=0,5, p_{\text{F}}=0,3, p_{\text{I}}=0,2. Substituindo:
\Pr(5,3,2)=\frac{10!}{5!\,3!\,2!}\;(0,5)^5(0,3)^3(0,2)^2.

Passo 4

Calcular o coeficiente multinomial \dfrac{10!}{5!\,3!\,2!} passo a passo.
  • Valores de fatoriais:
    • 10! = 10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 3\,628\,800.
    • 5! = 120.
    • 3! = 6.
    • 2! = 2.
  • Produto no denominador: 5!\cdot3!\cdot2! = 120\cdot6\cdot2 = 1\,440.
  • Coeficiente:
\frac{10!}{5!\,3!\,2!}=\frac{3\,628\,800}{1\,440}=2\,520.
  • (Interpretação curta: há 2\,520 maneiras distintas de distribuir 5 LEDs, 3 fluorescentes e 2 incandescentes entre as 10 posições.)

Passo 5

Calcular as potências das probabilidades e o produto final (fazer na forma fracionária para exatidão, depois decimal).
  • Representações fracionárias:
    • (0,5)^5 = \left(\tfrac{1}{2}\right)^5 = \tfrac{1}{32}.
    • (0,3)^3 = \left(\tfrac{3}{10}\right)^3 = \tfrac{27}{1\,000}.
    • (0,2)^2 = \left(\tfrac{1}{5}\right)^2 = \tfrac{1}{25}.
  • Produto das probabilidades:
(0,5)^5(0,3)^3(0,2)^2 = \frac{1}{32}\cdot\frac{27}{1000}\cdot\frac{1}{25}=\frac{27}{32\cdot1000\cdot25}=\frac{27}{800\,000}.
  • Multiplicando pelo coeficiente:
\Pr(5,3,2)=2\,520\cdot\frac{27}{800\,000}=\frac{2\,520\cdot27}{800\,000}=\frac{68\,040}{800\,000}.
  • Simplificando a fração: dividir numerador e denominador por 40 \dfrac{1\,701}{20\,000}.
  • Decimal aproximado:
\frac{1\,701}{20\,000}=0,08505.
  • Assim, a probabilidade desejada é \Pr(5,3,2)=\dfrac{1\,701}{20\,000}\approx0,08505 (ou cerca de 8,505\%).

Passo 6

Conclusão final e interpretação rápida (o que isso significa na prática).
  • A probabilidade de, num lote de 10 lâmpadas escolhidas aleatoriamente, ocorrer exatamente a combinação 5 LED, 3 fluorescentes e 2 incandescentes é aproximadamente 0,08505, ou seja, cerca de 8{,}5\%.
  • A distribuição usada é a multinomial, porque temos um número fixo de ensaios, resultados em categorias mutuamente exclusivas, probabilidades constantes e ensaios independentes — exatamente as hipóteses da multinomial.

Resposta

i) \Pr(5,3,2)=\dfrac{1\,701}{20\,000}\approx0,08505.
ii) Distribuição multinomial, pois são n=10 ensaios independentes em m=3 categorias com probabilidades constantes p_{\text{LED}}=0,5, p_{\text{F}}=0,3, p_{\text{I}}=0,2, e queremos a probabilidade de contagens específicas 5,3,2.

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