Considere o vetor
F=-xx^2+y^2 i+xx^2+y^2 j
escreva-o em coordenadas cilíndricas e determine seu rotacional.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo em coordenadas cartesianas
vec F(x,y,0)=-xx^2+y^2hatimath+xx^2+y^2hatjmath!,
e pede dois itens: (i) reescrevê-lo em coordenadas cilíndricas (r,theta,z), sabendo que
x=rcostheta, y=rsintheta, hat er=costheta,hatimath+sintheta,hatjmath, hat etheta=-sintheta,hatimath+costheta,hatjmath,
e (ii) determinar o rotacional nablatimesvec F.

Passo 2

Em coordenadas cartesianas temos
Fx=-xr^2, Fy=xr^2, r^2=x^2+y^2
Substituindo x=rcostheta obtemos
Fx=-rcosthetar^2=-costhetar, Fy=rcosthetar^2=costhetar

Passo 3

As componentes em base cilíndrica são
Fr=Fxcostheta+Fysintheta =-costhetacostheta+costhetasinthetar =costheta(,-costheta+sintheta)r,
Ftheta=-Fxsintheta+Fycostheta =costhetasintheta+costhetacosthetar =costheta(costheta+sintheta)r,
e Fz=0.

Passo 4

Logo, em coordenadas cilíndricas
boxedvec F(r,theta,z) =Fr,hat er+Ftheta,hat etheta =costheta(,-costheta+sintheta)r,hat er +costheta(costheta+sintheta)r,hat etheta

Passo 5

Para o rotacional usamos a fórmula em cilíndricas (com Fz=0):
(nablatimesvec F)z =1rl[partialpartial rl(r,Fthetar) -partial Frpartial thetar],
enquanto as componentes radial e azimutal são nulas pois Fz é constante.

Passo 6

Calculemos
r,Ftheta =costhetal(costheta+sinthetar) =cos^2theta+costheta,sintheta,
logo
partialpartial rl(r,Fthetar)=0
(pois não há dependência em r).
Por outro lado,
Fr=costheta(,-costheta+sintheta)r ;Longrightarrow; partial Frpartial theta =1r,ddthetal[costheta(,-costheta+sintheta)r] =cos2theta+sin2thetar

Passo 7

Substituindo na expressão do rotacional:
(nablatimesvec F)z =1rl[0-cos2theta+sin2thetarr] =-cos2theta+sin2thetar^2
As demais componentes são zero.

Resposta

vec F(r,theta,z) =costheta(,-costheta+sintheta)r,hat er +costheta(costheta+sintheta)r,hat etheta, nablatimesvec F =-cos2theta+sin2thetar^2,hat ez

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