Considere os vetores unitários i, j e k em coordenadas cartesianas e mostre que esses vetores estão relacionados aos vetores rho, phi e z em coordenadas cilíndricas por:
i=cos phi rho-sen phi phi j=-sen phi rho+cos phi phi k=z

Passo 1

O enunciado pede para relacionar a base canônica hat i,hat j,hat k com a base cilíndrica hatrho,hatphi,hat z. O conteúdo envolvido é transformação de bases em R^3 via rotação no plano xy. Vamos usar as definições geométricas de hatrho e hatphi em função de hat i e hat j.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos
x=rhocosphi, y=rhosinphi
A direção radial hatrho é dada pelo vetor unitário em direção a (partial x/partialrho,partial y/partialrho), ou seja,
hatrho =cosphi,hat i+sinphi,hat j
A direção tangencial hatphi é ortogonal a hatrho e aponta para phi crescente, com norma unitária, daí
hatphi =-sinphi,hat i+cosphi,hat j

Passo 3

Escrevendo em forma matricial temos
rho[6pt]phi = cosphi & sinphi[3pt] -sinphi & cosphi i[3pt]j
Como essa matriz de rotação tem inversa igual à sua transposta, obtém-se
i[6pt]j = cosphi & -sinphi[3pt] sinphi & cosphi rho[3pt]phi ]

Passo 4

Fazendo a multiplicação de matrizes chega-se a
hat i=cosphi,hatrho-sinphi,hatphi, hat j=sinphi,hatrho+cosphi,hatphi,
e como a componente z não se altera na passagem para cilíndricas,
hat k=hat z

Resposta

hat i=cosphi,hatrho-sinphi,hatphi hat j=sinphi,hatrho+cosphi,hatphi hat k=hat z

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