Considere os vetores unitários e em coordenadas cartesianas e mostre que esses vetores estão relacionados aos vetores e em coordenadas cilíndricas por:
Passo 1
O enunciado pede para relacionar a base canônica com a base cilíndrica . O conteúdo envolvido é transformação de bases em via rotação no plano . Vamos usar as definições geométricas de e em função de e .
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas temos
A direção radial é dada pelo vetor unitário em direção a , ou seja,
A direção tangencial é ortogonal a e aponta para crescente, com norma unitária, daí
Passo 3
Escrevendo em forma matricial temos
Como essa matriz de rotação tem inversa igual à sua transposta, obtém-se
]
Passo 4
Fazendo a multiplicação de matrizes chega-se a
hat i=cosphi,hatrho-sinphi,hatphi, hat j=sinphi,hatrho+cosphi,hatphi,
e como a componente z não se altera na passagem para cilíndricas,
hat k=hat z
Resposta
hat i=cosphi,hatrho-sinphi,hatphi hat j=sinphi,hatrho+cosphi,hatphi hat k=hat z