Se F=(x^2-y^2) i+2 x y j, determine
integralC F cdot d r
ao longo da curva C no plano x y, dada por y=x^2-x do ponto (1,0) a (2,0).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralCFcdot dr
onde F(x,y)=(x^2-y^2),i+2xy,j e C é o arco da curva y=x^2-x que vai de (1,0) até (2,0).
O conteúdo envolvido é o cálculo de integral de linha de um campo vetorial no plano, usando parametrização da curva e o produto escalar Fcdot dr.

Passo 2

Parametrizamos C por
r(t)=l(t,;t^2-tr), tin[1,2]
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drdt = l(1,;2t-1r),
e dr=(1),dt,i+(2t-1),dt,j.

Passo 3

Substituímos r(t) em F e fazemos o produto escalar:
F(r(t)) = l(t^2-(t^2-t)^2,;2t(t^2-t)r)
Portanto
F(r(t))cdotdrdt = l[t^2-(t^2-t)^2r]cdot1 ;+;2t(t^2-t)cdot(2t-1)

Passo 4

Simplificando cada parcela:
t^2-(t^2-t)^2 = t^2 - (t^4-2t^3+t^2) = -t^4+2t^3,
2t(t^2-t)(2t-1) =(2t^3-2t^2)(2t-1) =4t^4-6t^3+2t^2
Somando, o integrando vira
-t^4+2t^3 +4t^4-6t^3+2t^2 =3t^4-4t^3+2t^2

Passo 5

A integral de linha é
integral1^2(3t^4-4t^3+2t^2),dt = [35t^5-t^4+23t^3]1^2
Calculando nos limites:
l(35cdot 2^5-2^4+23cdot2^3r) - l(35cdot1-1+23cdot1r) =12815-415 =12415

Resposta

integralCFcdot dr = 12415

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