Considere o vetor
.
(a) Escolha
de forma que
seja base ortonormal do
.
(b) Considere
. Escreva
, onde
, e determine
e
.
(a) Escolha
(b) Considere
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte:
- Dado o vetor
. - (a) Escolher
tal que seja uma base ortonormal de . - (b) Dado
, escrever e determinar e .
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- As componentes de
são com e . - As componentes de
são com e .
Passo 2
O que significa “base ortonormal” em
? Uma base
é ortonormal se:
-
(são ortogonais), -
(são de norma 1).
Uma maneira prática em
para obter um vetor ortogonal a
é tomar
(ou
). Vou escolher a forma
. Aplicando a
:
Passo 3
Verificar ortogonalidade: calcular o produto interno
.
Logo,
é ortogonal a
.]
Passo 4
Verificar que
tem norma 1:
Como a norma é 1,
é um vetor unitário e ortogonal a
. Portanto
é uma base ortonormal de
. (Resposta da parte (a).)]
Passo 5
Para a parte (b): quando
é uma base ortonormal, as coordenadas de
nessa base são dadas pelos produtos internos:
Justificativa curta: escrevendo
e tomando produto interno com
obtém-se
, porque
e
. Mesmo raciocínio para
.
Passo 6
Calcular
. Usando
e
:
Portanto
.]
Passo 7
Calcular
. Usando
:
Portanto
.]
Passo 8
Verificação rápida (opcional, para ganhar confiança):
. Calcular componentes:
confirmação correta.]