Considere o vetor U_{1}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right).
(a) Escolha U_{2} de forma que S=\left\{U_{1}, U_{2}\right\} seja base ortonormal do \mathbb{R}^{2}.
(b) Considere P=\left(\frac{1+\sqrt{3}}{2}, \frac{-1+\sqrt{3}}{2}\right). Escreva P=\alpha U_{1}+\beta U_{2}, onde \alpha, \beta \in \mathbb{R}, e determine \alpha e \beta.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte:
  • Dado o vetor \displaystyle U_{1}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\;\frac{1}{2}\right).
  • (a) Escolher \displaystyle U_{2} tal que S=\{U_{1},U_{2}\} seja uma base ortonormal de \mathbb{R}^{2}.
  • (b) Dado \displaystyle P=\left(\frac{1+\sqrt{3}}{2},\;\frac{-1+\sqrt{3}}{2}\right), escrever P=\alpha U_{1}+\beta U_{2} e determinar \alpha e \beta.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As componentes de \displaystyle U_{1} são \displaystyle U_{1}=(a,b) com \displaystyle a=-\frac{\sqrt{3}}{2} e \displaystyle b=\frac{1}{2}.
  • As componentes de \displaystyle P são \displaystyle P=(p_{1},p_{2}) com \displaystyle p_{1}=\frac{1+\sqrt{3}}{2} e \displaystyle p_{2}=\frac{-1+\sqrt{3}}{2}.

Passo 2

O que significa “base ortonormal” em \mathbb{R}^{2}? Uma base \{U_{1},U_{2}\} é ortonormal se:
  • \displaystyle \langle U_{1},U_{2}\rangle = 0 (são ortogonais),
  • \displaystyle \|U_{1}\|=\|U_{2}\|=1 (são de norma 1).
Uma maneira prática em \mathbb{R}^{2} para obter um vetor ortogonal a \displaystyle U_{1}=(a,b) é tomar \displaystyle (-b,a) (ou \displaystyle (b,-a)). Vou escolher a forma \displaystyle (-b,a). Aplicando a \displaystyle U_{1}:
\displaystyle U_{2}^\text{(candidato)} = \left(-\frac{1}{2},\; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right).

Passo 3

Verificar ortogonalidade: calcular o produto interno \langle U_{1},U_{2}^\text{(candidato)}\rangle.
\begin{aligned} \langle U_{1},U_{2}^\text{(candidato)}\rangle &= \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\\[6pt] &= \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4} = 0. \end{aligned}
Logo, \displaystyle U_{2}^\text{(candidato)} é ortogonal a \displaystyle U_{1}.]

Passo 4

Verificar que \displaystyle U_{2}^\text{(candidato)} tem norma 1:
\begin{aligned} \|U_{2}^\text{(candidato)}\|^{2} &= \left(-\frac{1}{2}\right)^{2} + \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\\[6pt] &= \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1. \end{aligned}
Como a norma é 1, \displaystyle U_{2}=\left(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) é um vetor unitário e ortogonal a \displaystyle U_{1}. Portanto S=\{U_{1},U_{2}\} é uma base ortonormal de \mathbb{R}^{2}. (Resposta da parte (a).)]

Passo 5

Para a parte (b): quando \{U_{1},U_{2}\} é uma base ortonormal, as coordenadas de \displaystyle P nessa base são dadas pelos produtos internos:
\displaystyle \alpha = \langle P, U_{1}\rangle,\qquad \displaystyle \beta = \langle P, U_{2}\rangle.
Justificativa curta: escrevendo \displaystyle P=\alpha U_{1}+\beta U_{2} e tomando produto interno com \displaystyle U_{1} obtém-se \langle P,U_{1}\rangle=\alpha\langle U_{1},U_{1}\rangle+\beta\langle U_{2},U_{1}\rangle=\alpha, porque \langle U_{1},U_{1}\rangle=1 e \langle U_{2},U_{1}\rangle=0. Mesmo raciocínio para \beta.

Passo 6

Calcular \displaystyle \alpha=\langle P,U_{1}\rangle. Usando \displaystyle P=(p_{1},p_{2}) e \displaystyle U_{1}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right):
\begin{aligned} \alpha &= p_{1}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + p_{2}\left(\frac{1}{2}\right)\\[6pt] &= \left(\frac{1+\sqrt{3}}{2}\right)\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{-1+\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)\\[6pt] &= -\frac{\sqrt{3}(1+\sqrt{3})}{4} + \frac{-1+\sqrt{3}}{4}\\[6pt] &= -\frac{\sqrt{3}+3}{4} + \frac{-1+\sqrt{3}}{4}\\[6pt] &= \frac{-\sqrt{3}-3-1+\sqrt{3}}{4} = \frac{-4}{4} = -1. \end{aligned}
Portanto \displaystyle \alpha=-1.]

Passo 7

Calcular \displaystyle \beta=\langle P,U_{2}\rangle. Usando \displaystyle U_{2}=\left(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right):
\begin{aligned} \beta &= p_{1}\left(-\frac{1}{2}\right) + p_{2}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\\[6pt] &= -\frac{1+\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}(-1+\sqrt{3})}{4}\\[6pt] &= -\frac{1+\sqrt{3}}{4} - \frac{-\sqrt{3}+3}{4}\\[6pt] &= \frac{-1-\sqrt{3}+\sqrt{3}-3}{4} = \frac{-4}{4} = -1. \end{aligned}
Portanto \displaystyle \beta=-1.]

Passo 8

Verificação rápida (opcional, para ganhar confiança): \displaystyle \alpha U_{1}+\beta U_{2} = -U_{1}-U_{2}. Calcular componentes:
\begin{aligned} -U_{1}-U_{2} &= -\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\\[6pt] &= \left(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\\[6pt] &= \left(\frac{\sqrt{3}+1}{2},\;-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\\[6pt] &= \left(\frac{1+\sqrt{3}}{2},\;\frac{-1+\sqrt{3}}{2}\right)=P, \end{aligned}
confirmação correta.]

Resposta

\displaystyle U_{2}=\left(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)
\displaystyle \alpha=-1,\\ \beta=-1

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