Encontre \mathbf{A}^{-1}, onde
\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cccc}4 & -1 & 2 & -2 \\\\ 3 & -1 & 0 & 0 \\\\ 2 & 3 & 1 & 0 \\\\ 0 & 7 & 1 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: encontrar \mathbf{A}^{-1}, a inversa da matriz quadrada de ordem 4
\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cccc} 4 & -1 & 2 & -2 \\\\ 3 & -1 & 0 & 0 \\\\ 2 & 3 & 1 & 0 \\\\ 0 & 7 & 1 & 1 \end{array}\right].
Informações dadas:
  • A matriz \mathbf{A} está totalmente especificada (todos os elementos conhecidos).
  • Deve-se calcular a matriz inversa \mathbf{A}^{-1}, se existir (pressupõe-se que existe).

Passo 2

Estratégia (explicação didática do método que vamos usar).
  • Para achar \mathbf{A}^{-1} usamos o método da eliminação de Gauss–Jordan: formar a matriz aumentada \left[\mathbf{A}\mid \mathbf{I}\right], onde \mathbf{I} é a identidade 4\times4, e aplicar operações elementares de linha até obter \left[\mathbf{I}\mid \mathbf{A}^{-1}\right].
  • Operações elementares de linha permitidas: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um escalar não nulo, somar a uma linha um múltiplo de outra linha. Essas operações correspondem a multiplicar por matrizes elementares e preservam a relação que define a inversa.
  • Vou descrever cada operação e mostrar a matriz aumentada após operações importantes, sem pular contas.

Passo 3

Montando a matriz aumentada inicial:
\left[\mathbf{A}\mid \mathbf{I}\right]= \left[\begin{array}{cccc|cccc} 4 & -1 & 2 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 3 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 7 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 4

Eliminar a coluna 1 (fazer zeros abaixo do pivô na linha 1) usando combinações inteiras para evitar frações prematuras.
  • Aplicar R_2 \leftarrow 4R_2 - 3R_1. Cálculo rápido: 4R_2 = [12,\,-4,\,0,\,0\mid 0,\,4,\,0,\,0],\qquad 3R_1 = [12,\,-3,\,6,\,-6\mid 3,\,0,\,0,\,0],logo 4R_2-3R_1=[0,-1,-6,6\mid -3,4,0,0].
  • Aplicar R_3 \leftarrow 2R_1 - 4R_3. Cálculo: 2R_1=[8,-2,4,-4\mid 2,0,0,0],\quad 4R_3=[8,12,4,0\mid 0,0,4,0],então 2R_1-4R_3=[0,-14,0,-4\mid 2,0,-4,0].
A matriz aumentada fica
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 4 & -1 & 2 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -1 & -6 & 6 & -3 & 4 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -14 & 0 & -4 & 2 & 0 & -4 & 0\\[4pt] 0 & 7 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 5

Tornar o pivô da segunda linha igual a 1 e eliminar a coluna 2 nas outras linhas.
  • Multiplicar R_2 por -1: R_2 \leftarrow -R_2 = [0,1,6,-6\mid 3,-4,0,0].
  • Usar R_2 para zerar a coluna 2 em R_3 e R_4:
    • R_3 \leftarrow R_3 + 14R_2. 14R_2=[0,14,84,-84\mid 42,-56,0,0]. Somando com R_3 obtém-se R_3=[0,0,84,-88\mid 44,-56,-4,0].
    • R_4 \leftarrow R_4 - 7R_2. 7R_2=[0,7,42,-42\mid 21,-28,0,0]. Subtraindo de R_4 obtemos R_4=[0,0,-41,43\mid -21,28,0,1].
Agora:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 4 & -1 & 2 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 6 & -6 & 3 & -4 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 84 & -88 & 44 & -56 & -4 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -41 & 43 & -21 & 28 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 6

Simplificar a terceira linha dividindo por 4 para facilitar (pois 84,-88,44,\dots têm fator comum 4):
  • R_3 \leftarrow \tfrac{1}{4}R_3 = [0,0,21,-22\mid 11,-14,-1,0].
Aumentada:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 4 & -1 & 2 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 6 & -6 & 3 & -4 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 21 & -22 & 11 & -14 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -41 & 43 & -21 & 28 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 7

Eliminar a entrada da coluna 3 em R_4 usando R_3. Queremos combinar R_3 e R_4 sem introduzir frações: usar 21R_4 + 41R_3 (pois 21\cdot(-41)+41\cdot21=0).
  • 21R_4 = [0,0,-861,903\mid -441,588,0,21].
  • 41R_3 = [0,0,861,-902\mid 451,-574,-41,0].
    Somando: R_4 \leftarrow 21R_4+41R_3 = [0,0,0,1\mid 10,14,-41,21].
Aumentada agora:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 4 & -1 & 2 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 6 & -6 & 3 & -4 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 21 & -22 & 11 & -14 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 10 & 14 & -41 & 21 \end{array}\right].
Observação: obtivemos um bom pivô 1 na quarta linha, coluna 4.]

Passo 8

Usar R_4 (pivô em coluna 4) para zerar as entradas acima na coluna 4.
  • R_3 \leftarrow R_3 + 22R_4 para eliminar -22 em R_3:
    • 22R_4=[0,0,0,22\mid 220,308,-902,462].
    • Soma dá R_3=[0,0,21,0\mid 231,294,-903,462].
    • Depois dividir por 21: R_3 \leftarrow \tfrac{1}{21}R_3 = [0,0,1,0\mid 11,14,-43,22].
  • R_2 \leftarrow R_2 + 6R_4 para eliminar -6 em R_2:
    • 6R_4=[0,0,0,6\mid 60,84,-246,126].
    • Soma dá R_2=[0,1,6,0\mid 63,80,-246,126].
  • R_1 \leftarrow R_1 + 2R_4 para eliminar -2 em R_1:
    • 2R_4=[0,0,0,2\mid 20,28,-82,42].
    • Soma dá R_1=[4,-1,2,0\mid 21,28,-82,42].
Aumentada:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 4 & -1 & 2 & 0 & 21 & 28 & -82 & 42\\[4pt] 0 & 1 & 6 & 0 & 63 & 80 & -246 & 126\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 11 & 14 & -43 & 22\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 10 & 14 & -41 & 21 \end{array}\right].]

Passo 9

Usar R_3 (pivô na coluna 3) para zerar as entradas acima dessa coluna.
  • R_2 \leftarrow R_2 - 6R_3 para eliminar o 6 em R_2:
    • 6R_3=[0,0,6,0\mid 66,84,-258,132].
    • Subtraindo: R_2=[0,1,0,0\mid -3,-4,12,-6].
  • R_1 \leftarrow R_1 - 2R_3 para eliminar o 2 em R_1:
    • 2R_3=[0,0,2,0\mid 22,28,-86,44].
    • Subtraindo: R_1=[4,-1,0,0\mid -1,0,4,-2].
Aumentada:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 4 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 4 & -2\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0 & -3 & -4 & 12 & -6\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 11 & 14 & -43 & 22\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 10 & 14 & -41 & 21 \end{array}\right].]

Passo 10

Usar R_2 (pivô na coluna 2) para zerar a entrada -1 em R_1.
  • Fazer R_1 \leftarrow R_1 + R_2:
    • Soma: R_1=[4,0,0,0\mid -4,-4,16,-8].
Agora:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 4 & 0 & 0 & 0 & -4 & -4 & 16 & -8\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0 & -3 & -4 & 12 & -6\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 11 & 14 & -43 & 22\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 10 & 14 & -41 & 21 \end{array}\right].]

Passo 11

Normalizar a primeira linha dividindo por 4 para obter o pivô 1 na posição (1,1).
  • R_1 \leftarrow \tfrac{1}{4}R_1 = [1,0,0,0\mid -1,-1,4,-2].
Agora a matriz aumentada está na forma \left[\mathbf{I}\mid \mathbf{B}\right], com \mathbf{B} sendo a inversa procurada:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & 4 & -2\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0 & -3 & -4 & 12 & -6\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 11 & 14 & -43 & 22\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 10 & 14 & -41 & 21 \end{array}\right].]

Passo 12

Interpretação final: a parte direita da matriz aumentada é exatamente \mathbf{A}^{-1}. Verificações rápidas (opcionais): multiplicando \mathbf{A} por essa matriz obtém a identidade (uma verificação rápida de consistência pode ser feita por linhas/colunas).

Resposta

\mathbf{A}^{-1}= \left[\begin{array}{rrrr} -1 & -1 & 4 & -2\\[4pt] -3 & -4 & 12 & -6\\[4pt] 11 & 14 & -43 & 22\\[4pt] 10 & 14 & -41 & 21 \end{array}\right]]

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