Determine a matriz de cada uma das formas bilineares abaixo, relativamente à base especificada (considere produtos internos usuais): f: \mathbb{R}^{3} \times \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} dada por f(u, v)=\langle T(u), v\rangle, onde T \in L\left(\mathbb{R}^{3}, \mathbb{R}^{3}\right) com relação à base canônica de \mathbb{R}^{3}.
Passo 1
O enunciado dá a forma bilinear f:\mathbb{R}^{3}\times\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R} definida por
f(u,v)=\langle T(u),v\rangle,
onde T\in L(\mathbb{R}^{3},\mathbb{R}^{3}) e foi informado que a matriz de T é dada em relação à base canônica de \mathbb{R}^{3}. Também é dito que o produto interno é o usual (produto escalar). A pergunta é: determinar a matriz de f relativamente à base especificada (assumimos a base canônica, já que a matriz de T foi dada nessa base).
Informações relevantes fornecidas:
A forma bilinear é f(u,v)=\langle T(u),v\rangle.
O produto interno é o produto escalar usual, portanto \langle x,y\rangle = x^{T}y para vetores em coordenadas canônicas.
A matriz de T na base canônica existe; denotaremos essa matriz por A.
Passo 2
Vamos fixar notação e recordar como uma forma bilinear é representada por uma matriz.
Denotemos por A a matriz 3\times3 de T na base canônica.
Para vetores u,v\in\mathbb{R}^3, suas coordenadas na base canônica serão os vetores coluna u e v (vou usar a mesma letra para o vetor e sua coluna de coordenadas por simplicidade).
O produto interno usual entre vetores escritos em coordenadas é
\langle x,y\rangle = x^{T}y,
onde x^{T} é a transposta do vetor coluna x.
Definição útil: uma forma bilinear f é representada por uma matriz B na base canônica se, para todos u,v,
f(u,v)=u^{T}Bv.
Nosso objetivo é determinar a matriz B que representa f.
Passo 3
Calcular f(u,v) em termos de A, u e v.
Aplicar T a u corresponde a multiplicar a matriz A pelo vetor u; isto é, as coordenadas de T(u) são A u.
Usando o produto escalar usual,
f(u,v)=\langle T(u),v\rangle = (A u)^{T} v.
Passo 4
Manipular a expressão para colocá-la na forma u^{T}(\text{matriz})\,v.
Usamos a propriedade da transposição (A u)^{T}=u^{T}A^{T}. Portanto
f(u,v)=(A u)^{T} v = u^{T}A^{T} v.
Comparando com a forma f(u,v)=u^{T}Bv, concluímos que a matriz B que representa f na base canônica é
B = A^{T}.
Passo 5
Interpretação e um exemplo concreto rápido para fixar.
Interpretação: a matriz da forma bilinear f(u,v)=\langle T(u),v\rangle (com produto interno usual) é a transposta da matriz da transformação linear T quando tudo é escrito na mesma base canônica.