Calcule
onde
é a curva interseção das superfícies
e
situada no primeiro octante.
Passo 1
A questão pede para calcular a integral de linha de escalar f(x,y,z)=xyz ao longo da curva C, que é a interseção da esfera x²+y²+z²=4 com o cilindro x²+y²=1 no primeiro octante. O conteúdo aqui é integral de linha de uma função escalar e vamos precisar parametrizar C.
Passo 2
Para achar C, note que na interseção vale x²+y²=1 e z²=4−(x²+y²)=3, tomando só z≥0 (primeiro octante). Além disso x≥0 e y≥0 implicam que a curva é um quarto de circunferência de raio 1 no plano z=√3. Podemos parametrizar por t∈[0,π/2]:
$$
x(t)=\cos t,
x(t)=\cos t,
y(t)=\sin t,
z(t)=\sqrt{3}.
$$
Passo 3
Precisamos do elemento de comprimento ds. Calculando derivadas:
$$
x’(t)=-\sin t,
x’(t)=-\sin t,
y’(t)=\cos t,
z’(t)=0,
ds=\sqrt{(x’)2+(y’)2+(z’)^2},dt =\sqrt{\sin2t+\cos2t},dt =dt.
$$
Passo 4
Substituindo na integral:
$$
\int_C x y z ,ds = \int_{0}^{\pi/2} [\cos t\cdot\sin t\cdot\sqrt{3}],dt = \sqrt{3}\int_{0}^{\pi/2}\cos t\sin t,dt.
$$
Passo 5
Fazendo a integral:
Logo o valor da integral é
.