Considere o vetor V=(2,4).
(a) Encontre todos os vetores unitários paralelos a V.
(b) Encontre um vetor paralelo ao vetor V, com sentido contrário ao de V e norma 6 .
(c) Dado o ponto A=(1,3), encontre os pontos B e C tais que V=\overrightarrow{A B} e V=\overrightarrow{C A}.

Passo 1

O enunciado nos dá o vetor V=(2,4) e pede:
– (a) todos os vetores unitários paralelos a V.
– (b) um vetor paralelo a V de sentido contrário e norma 6.
– (c) dados o ponto A=(1,3), achar pontos B e C tais que \overrightarrow{AB}=V e \overrightarrow{CA}=V.
Vamos usar cálculo de norma, escala de vetores e soma/subtração de vetores.

Passo 2

Calcular a norma de V pela fórmula da norma euclidiana:
\|V\| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt5.

Passo 3

Para obter vetores unitários paralelos a V, dividimos V pela sua norma e também consideramos o sentido oposto:
\mathbf{u}_1 = \frac{V}{\|V\|} = \Bigl(\frac{2}{2\sqrt5},\,\frac{4}{2\sqrt5}\Bigr) = \Bigl(\frac{1}{\sqrt5},\,\frac{2}{\sqrt5}\Bigr),
\mathbf{u}_2 = -\,\mathbf{u}_1 = \Bigl(-\frac{1}{\sqrt5},\,-\frac{2}{\sqrt5}\Bigr).

Passo 4

Para achar um vetor paralelo a V, de sentido contrário e norma 6, basta escalar \mathbf{u}_2 por 6:
\mathbf{w} = 6\,\mathbf{u}_2 = 6\Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt5},\,-\tfrac{2}{\sqrt5}\Bigr) = \Bigl(-\tfrac{6}{\sqrt5},\,-\tfrac{12}{\sqrt5}\Bigr).
Opcionalmente, racionalizando:
\mathbf{w} = \Bigl(-\tfrac{6\sqrt5}{5},\,-\tfrac{12\sqrt5}{5}\Bigr).

Passo 5

Para B tal que \overrightarrow{AB}=V, usamos B=A+V:
B = (1,3) + (2,4) = (3,7).
Para C tal que \overrightarrow{CA}=V, temos A-C=V, logo C=A-V:
C = (1,3) - (2,4) = (-1,-1).

Resposta

(a) \displaystyle \Bigl(\tfrac{1}{\sqrt5},\,\tfrac{2}{\sqrt5}\Bigr) e \displaystyle \Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt5},\,-\tfrac{2}{\sqrt5}\Bigr).
(b) \displaystyle \Bigl(-\tfrac{6}{\sqrt5},\,-\tfrac{12}{\sqrt5}\Bigr) (ou \displaystyle(-\tfrac{6\sqrt5}{5},\,-\tfrac{12\sqrt5}{5})).
(c) B=(3,7) e C=(-1,-1).

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