Encontre a transformação linear pedida:
T: M_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}^{4} que transforma cada matriz E_{i j} da base canônica de M_{2}(\mathbb{R}) no vetor e_{i+j} da base canônica do \mathbb{R}^{4}.

Passo 1

O enunciado pede para definir uma transformação linear
T: M_{2}(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^4
tal que, na base canônica de M_2(\mathbb{R}) formada por
\,E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\,, valha
T(E_{ij}) \;=\; e_{\,i+j},
onde \,e_1,e_2,e_3,e_4 é a base canônica de \mathbb{R}^4. Vamos usar linearidade para determinar T em uma matriz genérica.

Passo 2

Anotamos diretamente as imagens dos quatro vetores da base de M_{2}(\mathbb{R}):
T(E_{11}) = e_{1+1}=e_2,\quad T(E_{12}) = e_{1+2}=e_3,\quad T(E_{21}) = e_{2+1}=e_3,\quad T(E_{22}) = e_{2+2}=e_4.

Passo 3

Seja agora uma matriz genérica
A = \begin{pmatrix} a & b \\\ c & d \end{pmatrix}.
Podemos escrevê-la como combinação linear da base:
A = a\,E_{11} \;+\; b\,E_{12} \;+\; c\,E_{21} \;+\; d\,E_{22}.

Passo 4

Pela linearidade de T, temos
T(A) = a\,T(E_{11}) + b\,T(E_{12}) + c\,T(E_{21}) + d\,T(E_{22}) = a\,e_2 + b\,e_3 + c\,e_3 + d\,e_4.
Agrupando termos,
T(A) = a\,e_2 + (b+c)\,e_3 + d\,e_4.
Em coordenadas em \mathbb{R}^4 (seguindo a ordem (e_1,e_2,e_3,e_4)), isso é
T(A) = (0,\;a,\;b+c,\;d)^\mathsf{T}.

Resposta

Para todo
\displaystyle A=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}\in M_2(\mathbb{R}),
T(A) \;=\;\bigl(0,\;a,\;b+c,\;d\bigr)^\mathsf{T}.

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