Encontre a transformação linear pedida:
que transforma cada matriz
da base canônica de
no vetor
da base canônica do
.
Passo 1
O enunciado pede para definir uma transformação linear
tal que, na base canônica de
formada por
, valha
onde
é a base canônica de
. Vamos usar linearidade para determinar
em uma matriz genérica.
Passo 2
Anotamos diretamente as imagens dos quatro vetores da base de
:
Passo 3
Seja agora uma matriz genérica
Podemos escrevê-la como combinação linear da base:
Passo 4
Pela linearidade de
, temos
Agrupando termos,
Em coordenadas em
(seguindo a ordem
), isso é
Resposta
Para todo
,