Encontre os autovalores das matrizes
\left[\begin{array}{rrrr}0 & 0 & 2 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & -2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores de uma matriz 4\times4. O conteúdo é autovalores e polinômio característico. Vamos usar que a matriz é triangular por blocos, isolar um bloco 3\times3 e um escalar 1, e então calcular e fatorar o polinômio característico do bloco.

Passo 2

A matriz dada é
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & -2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},
que é triangular por blocos do tipo
\begin{pmatrix} A_{3\times 3} & 0 \\[6pt] 0 & 1 \end{pmatrix}.
Em matrizes triangulares por blocos, os autovalores são os autovalores de A_{3\times 3} juntos com o valor 1 do bloco 1\times 1.
]

Passo 3

Chamando
A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & -2 \end{pmatrix},
o polinômio característico de A é
p(\lambda)=\det\bigl(\lambda I_3 - A\bigr) =\det\begin{pmatrix} \lambda & 0 & -2 \\\\ -1 & \lambda & -1 \\\\ 0 & -1 & \lambda + 2 \end{pmatrix}.

Passo 4

Expandindo pela primeira linha:
p(\lambda) =\lambda\bigl(\lambda(\lambda+2)-(-1)\cdot(-1)\bigr) -2\bigl((-1)\cdot(-1)-\lambda\cdot0\bigr) =\lambda(\lambda^2+2\lambda-1)-2
portanto
p(\lambda)=\lambda^3+2\lambda^2-\lambda-2.

Passo 5

Para fatorar, testamos \lambda=1:
1^3 + 2\cdot1^2 -1 -2 = 0,
logo \lambda - 1 é fator. A divisão dá
\lambda^3+2\lambda^2-\lambda-2 = (\lambda-1)(\lambda^2+3\lambda+2) \quad\text{e}\quad \lambda^2+3\lambda+2=(\lambda+1)(\lambda+2).

Passo 6

Os autovalores de A são \lambda=1, -1 e -2. Acrescentando o bloco 1, os autovalores da matriz original são
\{\,1,\,1,\,-1,\,-2\}.

Resposta

Os autovalores são 1 (com multiplicidade algébrica 2), -1 e -2.

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