Considere os vetores
e
. Verifique se é possível escrever o vetor
como uma combinação linear desses vetores. Caso seja possível, apresente uma opção.
Passo 1
O enunciado dá os vetores
,
,
e pede para verificar se o vetor
pode ser escrito como combinação linear desses vetores.
Informações importantes fornecidas:
Informações importantes fornecidas:
Pergunta clara: existe escalares (reais)
tais que
Passo 2
O que significa escrever
como combinação linear de
: existem números reais
tais que a soma ponderada desses vetores dá
. Formalmente vamos colocar
Aqui
são as incógnitas que queremos encontrar. Vou transformar essa igualdade de vetores em um sistema de equações escalares componente a componente.
Passo 3
Comparando as componentes
das duas expressões obtemos três equações escalares. Escrevendo componente a componente:
- componente
: . Ou seja,
- componente
: . Ou seja,
que é uma igualdade sempre verdadeira (não impõe condição extra).
- componente
: . Ou seja,
Portanto o sistema relevante é
Passo 4
Observação sobre o sistema: há três incógnitas
e apenas duas equações independentes (a equação para a componente
não dá informação). Isso normalmente significa que o sistema tem infinitas soluções (grau de liberdade 1) — podemos escolher um parâmetro livre (por exemplo
) e expressar
e
em termos desse parâmetro. Vou fazer isso passo a passo.
Passo 5
Da primeira equação isolamos
:
Agora substituímos esse
na segunda equação
:
Simplifico essa equação:
Passo 6
Isolando
obtemos
e portanto
Então, para qualquer escolha de
(parâmetro livre), temos
Isso confirma que existem (infinitas) soluções — então sim, é possível escrever
como combinação linear dos vetores dados.
Passo 7
Para apresentar uma opção concreta, escolho um valor simples para
que torne
um número inteiro (isso deixa a conta mais bonita na hora da prova). Se escolhermos
obtemos:
Verificação rápida (fazer sempre na prova para evitar erro): calcular as componentes da combinação com
,
,
.
- componente
: — bate com . - componente
: — bate com . - componente
: — bate com .
Tudo confere, logo a escolha é válida.