O que significa ser uma base (explicação didática): uma coleção de vetores é base de \mathbb{R}^3 quando satisfaz duas coisas simultaneamente:
Os vetores geram \mathbb{R}^3 (ou seja, todo vetor de \mathbb{R}^3 pode ser escrito como combinação linear deles).
Os vetores são linearmente independentes (isto é, a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial em que todos os coeficientes são zero).
Uma forma prática e comum de verificar se três vetores em \mathbb{R}^3 são base é checar se são linearmente independentes (porque três vetores independentes em \mathbb{R}^3 automaticamente geram \mathbb{R}^3). Vou explicar o conceito de combinação linear: dizer que existem escalares c_1,c_2,c_3 tais que
c_1 v_1 + c_2 v_2 + c_3 v_3 = (0,0,0)
é admitir uma combinação linear que resulta no vetor zero. Se existir uma combinação com algum coeficiente diferente de zero, os vetores são linearmente dependentes. Se a única solução for c_1=c_2=c_3=0, são independentes.
Passo 3
Tentar encontrar uma relação linear não trivial entre v_1,v_2,v_3. Uma observação direta (olhando os vetores coordenada a coordenada) é calcular v_3 - v_2:
v_3 - v_2 = (3,-1,3) - (2,-1,3).
Calculando coordenada por coordenada:
3-2 = 1,\qquad -1-(-1)=0,\qquad 3-3=0,
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v_3 - v_2 = (1,0,0).
Passo 4
Notamos que (1,0,0)=v_1. Portanto temos a relação
v_1 + v_2 - v_3 = (0,0,0).
Isto é, existem coeficientes c_1=1, c_2=1, c_3=-1 tais que
Como nem todos os coeficientes são zero, esta é uma combinação linear não trivial que produz o vetor zero, o que prova que os vetores são linearmente dependentes.
Passo 5
Interpretação: por haver uma relação linear não trivial entre os vetores, eles não são linearmente independentes. Como uma base de \mathbb{R}^3 exige independência linear de três vetores, concluímos que A não é uma base.
Passo 6
Verificação alternativa (opcional, para reforçar): montar a matriz cujas colunas são os vetores e calcular o determinante; se o determinante for zero, há dependência linear. A matriz é