Verifique se o conjunto \mathrm{A}=\{(1,0,0) ;(2,-1,3) ;(3,-1,3)\} é uma base do \Re^{3}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto A=\{(1,0,0);\,(2,-1,3);\,(3,-1,3)\} é uma base de \mathbb{R}^3.\n
Informações dadas:
v_1=(1,0,0),\qquad v_2=(2,-1,3),\qquad v_3=(3,-1,3).

Passo 2

O que significa ser uma base (explicação didática): uma coleção de vetores é base de \mathbb{R}^3 quando satisfaz duas coisas simultaneamente:
  1. Os vetores geram \mathbb{R}^3 (ou seja, todo vetor de \mathbb{R}^3 pode ser escrito como combinação linear deles).
  2. Os vetores são linearmente independentes (isto é, a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial em que todos os coeficientes são zero).
Uma forma prática e comum de verificar se três vetores em \mathbb{R}^3 são base é checar se são linearmente independentes (porque três vetores independentes em \mathbb{R}^3 automaticamente geram \mathbb{R}^3). Vou explicar o conceito de combinação linear: dizer que existem escalares c_1,c_2,c_3 tais que
c_1 v_1 + c_2 v_2 + c_3 v_3 = (0,0,0)
é admitir uma combinação linear que resulta no vetor zero. Se existir uma combinação com algum coeficiente diferente de zero, os vetores são linearmente dependentes. Se a única solução for c_1=c_2=c_3=0, são independentes.

Passo 3

Tentar encontrar uma relação linear não trivial entre v_1,v_2,v_3. Uma observação direta (olhando os vetores coordenada a coordenada) é calcular v_3 - v_2:
v_3 - v_2 = (3,-1,3) - (2,-1,3).
Calculando coordenada por coordenada:
3-2 = 1,\qquad -1-(-1)=0,\qquad 3-3=0,
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v_3 - v_2 = (1,0,0).

Passo 4

Notamos que (1,0,0)=v_1. Portanto temos a relação
v_1 + v_2 - v_3 = (0,0,0).
Isto é, existem coeficientes c_1=1, c_2=1, c_3=-1 tais que
1\cdot v_1 + 1\cdot v_2 + (-1)\cdot v_3 = (0,0,0).
Como nem todos os coeficientes são zero, esta é uma combinação linear não trivial que produz o vetor zero, o que prova que os vetores são linearmente dependentes.

Passo 5

Interpretação: por haver uma relação linear não trivial entre os vetores, eles não são linearmente independentes. Como uma base de \mathbb{R}^3 exige independência linear de três vetores, concluímos que A não é uma base.

Passo 6

Verificação alternativa (opcional, para reforçar): montar a matriz cujas colunas são os vetores e calcular o determinante; se o determinante for zero, há dependência linear. A matriz é
M=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\[4pt] 0 & -1 & -1\\[4pt] 0 & 3 & 3 \end{pmatrix}.
O determinante pode ser calculado desenvolvendo pela primeira linha:
\det(M)=1\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & -1\\[4pt] 3 & 3\end{pmatrix}-0+\;0 =1\cdot\big((-1)\cdot 3 - (-1)\cdot 3\big)=1\cdot( -3 +3)=0.
Determinante zero confirma dependência linear e, portanto, que A não é base.]

Resposta

O conjunto A não é uma base de \mathbb{R}^3.

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