Mostre que o conjunto a seguir NÃO é um espaço vetorial, fornecendo ao menos DUAS propriedades de espaços vetoriais que ele
cumpre:
com as operações dadas por: Adição:
;
Multiplicação por Escalar (usual de
):
.
Multiplicação por Escalar (usual de
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto
, com as operações dadas, NÃO é um espaço vetorial e para isso fornecer pelo menos DUAS propriedades de espaços vetoriais que ele não cumpre. As informações fornecidas são:
- O conjunto é
. - A adição é definida por
ou seja, a soma devolve sempre o primeiro somando, descartando o segundo.
- A multiplicação por escalar é a usual de
:
Passo 2
Rápida lembrança (didática) das propriedades relevantes de um espaço vetorial, só o que vamos precisar aqui. Um espaço vetorial sobre
deve satisfazer várias axiomas; entre eles, destacamos:
- Comutatividade da adição: para todos
deve valer
Isto significa que trocar a ordem dos somandos não muda o resultado.
- Existência do elemento neutro aditivo (vetor zero): deve existir um vetor
tal que, para todo ,
Esse vetor é único e é chamado de vetor nulo.
- Existência de inversos aditivos: para todo
deve existir tal que
onde
é o vetor nulo do espaço.
Essas propriedades são fundamentais e simples de checar. Se alguma delas falha, já não temos espaço vetorial. Vou checar explicitamente algumas delas para o caso dado.
Passo 3
Verificação da comutatividade da adição (mostrando que ela falha). Pegue dois vetores distintos e simples, por exemplo
Calcule
usando a definição dada:
Agora calcule
:
Como
(de fato
), temos
Portanto a propriedade de comutatividade da adição não é satisfeita por essa operação de soma.
Passo 4
Verificação da existência de elemento neutro aditivo (mostrando que não existe). Suponha, por contradição, que exista um vetor
que seja o elemento neutro aditivo, isto é, para todo
deveria valer
Usando a definição da soma temos
isso está ok (porque a soma devolve o primeiro somando). Mas
Para que
para todo
precisamos que
para todo
, o que é impossível (não existe um vetor igual a todos os vetores ao mesmo tempo). Logo chegamos a uma contradição: não pode existir
que satisfaça ambas as igualdades para todo
. Portanto não existe elemento neutro aditivo em
com essa operação de soma.
Passo 5
Consequência para inversos aditivos (mostrando também que falham). A existência de inversos aditivos depende da existência do vetor zero. Mais formalmente, se não existe o vetor
tal que
e
para todo
, então a definição de inverso aditivo fica sem sentido global. Podemos também ver diretamente que, se alguém tentasse achar um
tal que
, usando a soma dada teríamos
. Assim para ter
seria necessário
. Como isso teria de acontecer para todo
, é impossível. Logo, em geral não existem inversos aditivos para todos os vetores.
Passo 6
Conclusão e comentário encorajador: mostramos explicitamente duas falhas independentes — a comutatividade da adição e a existência do elemento neutro aditivo — e vimos também que a existência de inversos aditivos falha como consequência. Basta que qualquer uma dessas propriedades (na verdade qualquer uma das axiomas) falhe para concluir que
com as operações dadas NÃO é um espaço vetorial. Você já fez o mais importante: identificar onde a definição quebra e produzir exemplos/argumentos simples. Tá indo bem!
Resposta
Comutatividade da adição: não satisfeita.
Existência do elemento neutro aditivo (vetor zero): não satisfeita.
Existência de inversos aditivos: não satisfeita.
Existência do elemento neutro aditivo (vetor zero): não satisfeita.
Existência de inversos aditivos: não satisfeita.