Mostre que o conjunto a seguir NÃO é um espaço vetorial, fornecendo ao menos DUAS propriedades de espaços vetoriais que ele \mathrm{N} \tilde{\mathrm{A}} \mathrm{O} cumpre: \mathrm{V}=\Re^{2} com as operações dadas por: Adição: \mathrm{v}_{1}+\mathrm{v}_{2}=\left(\mathrm{a}_{1}, \mathrm{~b}_{1}\right)+\left(\mathrm{a}_{2}, \mathrm{~b}_{2}\right)=\left(\mathrm{a}_{1}, \mathrm{~b}_{1}\right);
Multiplicação por Escalar (usual de \mathrm{R}^{2} ): \alpha \mathrm{v}_{1}=\alpha\left(\mathrm{a}_{1}, \mathrm{~b}_{1}\right)=\left(\alpha \mathrm{a}_{1}, \alpha \mathrm{~b}_{1}\right).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto V=\mathbb{R}^2, com as operações dadas, NÃO é um espaço vetorial e para isso fornecer pelo menos DUAS propriedades de espaços vetoriais que ele não cumpre. As informações fornecidas são:
  • O conjunto é V=\mathbb{R}^2.
  • A adição é definida por
(a_1,b_1)+(a_2,b_2)=(a_1,b_1),
ou seja, a soma devolve sempre o primeiro somando, descartando o segundo.
  • A multiplicação por escalar é a usual de \mathbb{R}^2:
\alpha(a_1,b_1)=(\alpha a_1,\alpha b_1).

Passo 2

Rápida lembrança (didática) das propriedades relevantes de um espaço vetorial, só o que vamos precisar aqui. Um espaço vetorial sobre \mathbb{R} deve satisfazer várias axiomas; entre eles, destacamos:
  • Comutatividade da adição: para todos u,v\in V deve valer
u+v=v+u.
Isto significa que trocar a ordem dos somandos não muda o resultado.
  • Existência do elemento neutro aditivo (vetor zero): deve existir um vetor 0\in V tal que, para todo v\in V,
v+0=0+v=v.
Esse vetor é único e é chamado de vetor nulo.
  • Existência de inversos aditivos: para todo v\in V deve existir -v\in V tal que
v+(-v)=(-v)+v=0,
onde 0 é o vetor nulo do espaço.
Essas propriedades são fundamentais e simples de checar. Se alguma delas falha, já não temos espaço vetorial. Vou checar explicitamente algumas delas para o caso dado.

Passo 3

Verificação da comutatividade da adição (mostrando que ela falha). Pegue dois vetores distintos e simples, por exemplo
u=(1,0),\qquad v=(0,1).
Calcule u+v usando a definição dada:
u+v=(1,0)+(0,1)=(1,0)=u.
Agora calcule v+u:
v+u=(0,1)+(1,0)=(0,1)=v.
Como u\neq v (de fato (1,0)\neq(0,1)), temos
u+v\neq v+u.
Portanto a propriedade de comutatividade da adição não é satisfeita por essa operação de soma.

Passo 4

Verificação da existência de elemento neutro aditivo (mostrando que não existe). Suponha, por contradição, que exista um vetor z=(z_1,z_2)\in V que seja o elemento neutro aditivo, isto é, para todo v=(a,b)\in\mathbb{R}^2 deveria valer
v+z=v\quad\text{e}\quad z+v=v.
Usando a definição da soma temos
v+z=(a,b)+(z_1,z_2)=(a,b)=v,
isso está ok (porque a soma devolve o primeiro somando). Mas
z+v=(z_1,z_2)+(a,b)=(z_1,z_2)=z.
Para que z+v=v para todo v precisamos que z=v para todo v\in\mathbb{R}^2, o que é impossível (não existe um vetor igual a todos os vetores ao mesmo tempo). Logo chegamos a uma contradição: não pode existir z que satisfaça ambas as igualdades para todo v. Portanto não existe elemento neutro aditivo em V com essa operação de soma.

Passo 5

Consequência para inversos aditivos (mostrando também que falham). A existência de inversos aditivos depende da existência do vetor zero. Mais formalmente, se não existe o vetor 0 tal que v+0=v e 0+v=v para todo v, então a definição de inverso aditivo fica sem sentido global. Podemos também ver diretamente que, se alguém tentasse achar um -v tal que v+(-v)=0, usando a soma dada teríamos v+(-v)=v. Assim para ter v+(-v)=0 seria necessário v=0. Como isso teria de acontecer para todo v, é impossível. Logo, em geral não existem inversos aditivos para todos os vetores.

Passo 6

Conclusão e comentário encorajador: mostramos explicitamente duas falhas independentes — a comutatividade da adição e a existência do elemento neutro aditivo — e vimos também que a existência de inversos aditivos falha como consequência. Basta que qualquer uma dessas propriedades (na verdade qualquer uma das axiomas) falhe para concluir que \mathbb{R}^2 com as operações dadas NÃO é um espaço vetorial. Você já fez o mais importante: identificar onde a definição quebra e produzir exemplos/argumentos simples. Tá indo bem!

Resposta

Comutatividade da adição: não satisfeita.
Existência do elemento neutro aditivo (vetor zero): não satisfeita.
Existência de inversos aditivos: não satisfeita.

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