Verifique se os conjuntos de vetores dados a seguir são L.I. ou L.D.
V=M2 times 3(R) e S2=(rrr2 & 1 & -1 3 & -2 & 4),(rrr2 & -2 & 1 -2 & 0 & -7),(rrr4 & -1 & 0 1 & -2 & -3).

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=M2times3(R) e o conjunto
S2=lA1,A2,A3r
com
A1=2 & 1 & -13 & -2 & 4, A2=2 & -2 & 1-2 & 0 & -7, A3=4 & -1 & 01 & -2 & -3
Queremos decidir se S2 é linearmente independente (L.I.) ou dependente (L.D.). Para isso, vamos usar combinações lineares e resolver um sistema linear.

Passo 2

Escrevemos a combinação linear genérica igual à matriz zero:
c1A1+c2A2+c3A3=0&0&00&0&0
Isso gera o sistema de 6 equações nos coeficientes c1,c2,c3:
2c1+2c2+4c3=0, c1-2c2-c3=0, -,c1+c2=0, 3c1-2c2+c3=0, -2c1-2c3=0, 4c1-7c2-3c3=0

Passo 3

Da terceira e da quinta equações obtemos:
-,c1+c2=0implies c2=c1, -2c1-2c3=0implies c3=-c1
Substituindo c2=c1 e c3=-c1 nas demais equações, todas se satisfazem identicamente. Logo há solução não trivial
(c1,c2,c3)=(t,t,-t), tneq0

Passo 4

Como existe solução não trivial para a combinação linear, concluímos que S2 é linearmente dependente. A dependência explícita é
A1+A2-A3=0,
ou seja, A3=A1+A2.

Resposta

O conjunto S2 é linearmente dependente.

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