Verifique se são verdadeiras ou falsas as afirmações abaixo:
a) Dois vetores são L.D. se, e somente se, um deles é múltiplo do outro.
b) Um conjunto que contém um subconjunto de vetores L.D. é L.D…
c) Um subconjunto de um conjunto L.I. pode ser L.D.
d) Se
, então
é L.D…
e) Se
então
é L.D…
f) Se
é L.I. então
.
a) Dois vetores são L.D. se, e somente se, um deles é múltiplo do outro.
b) Um conjunto que contém um subconjunto de vetores L.D. é L.D…
c) Um subconjunto de um conjunto L.I. pode ser L.D.
d) Se
e) Se
f) Se
Passo 1
O exercício pertence ao conteúdo de álgebra linear: dependência e independência linear de vetores e propriedades de span. Vamos lembrar que um conjunto de vetores é linearmente dependente (L.D.) se existe uma combinação linear não trivial que resulte no vetor nulo; é linearmente independente (L.I.) se a única combinação que dá zero é a trivial. Além disso, o span
é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores.
Passo 2
(a) Para dois vetores
e
, dizer que são L.D. significa existir escalares
, não ambos zero, tais que
Se
então
, ou seja, um é múltiplo do outro. Reciprocamente, se
com
, então
mostra dependência. Logo, a afirmação (a) é verdadeira.
Passo 3
(b) Se um conjunto
contém um subconjunto
que é L.D., existe em
uma combinação não trivial que dá zero. Como
, essa mesma combinação serve para
. Logo
é L.D. A afirmação (b) é verdadeira.
Passo 4
(c) Se
é L.I., por definição não há combinação não trivial em
que dê zero. Qualquer subconjunto de
herda essa propriedade, pois ter uma combinação não trivial num subconjunto criaria uma em
. Portanto um subconjunto de um conjunto L.I. nunca pode ser L.D. A afirmação (c) é falsa.
Passo 5
(d) Dado que
, existem escalares
tais que
Reescrevendo
com coeficientes nem todos nulos, vemos que
é L.D. Logo (d) é verdadeira.
Passo 6
(e) A igualdade de spans
significa que
já está em
. Logo existem
tais que
. Isso produz a combinação não trivial
, mostrando que
é L.D. Portanto (e) é verdadeira.
Passo 7
(f) Se
é L.I., então nenhum deles está no span dos outros dois, caso contrário haveria dependência. Assim o span de
é estritamente maior que o span de
. Logo não pode valer
. A afirmação (f) é falsa.
Resposta
a) Verdadeira
b) Verdadeira
c) Falsa
d) Verdadeira
e) Verdadeira
f) Falsa
b) Verdadeira
c) Falsa
d) Verdadeira
e) Verdadeira
f) Falsa