Verifique se são verdadeiras ou falsas as afirmações abaixo:
a) Dois vetores são L.D. se, e somente se, um deles é múltiplo do outro.
b) Um conjunto que contém um subconjunto de vetores L.D. é L.D…
c) Um subconjunto de um conjunto L.I. pode ser L.D.
d) Se w1 in[w2, w3], então w1, w2, w3 é L.D…
e) Se [w1, w2]=[w1, w2, w3] então w1, w2, w3 é L.D…
f) Se w1, w2, w3 é L.I. então [w1, w2]=[w1, w2, w3].

Passo 1

O exercício pertence ao conteúdo de álgebra linear: dependência e independência linear de vetores e propriedades de span. Vamos lembrar que um conjunto de vetores é linearmente dependente (L.D.) se existe uma combinação linear não trivial que resulte no vetor nulo; é linearmente independente (L.I.) se a única combinação que dá zero é a trivial. Além disso, o span l[v1,dots,vkr] é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores.

Passo 2

(a) Para dois vetores v e w, dizer que são L.D. significa existir escalares alpha,beta, não ambos zero, tais que
alpha v + beta w = 0
Se betaneq0 então w = -tfracalphabeta,v, ou seja, um é múltiplo do outro. Reciprocamente, se w = lambda v com lambdaneq0, então w - lambda v =0 mostra dependência. Logo, a afirmação (a) é verdadeira.

Passo 3

(b) Se um conjunto S contém um subconjunto T que é L.D., existe em T uma combinação não trivial que dá zero. Como Tsubset S, essa mesma combinação serve para S. Logo S é L.D. A afirmação (b) é verdadeira.

Passo 4

(c) Se S é L.I., por definição não há combinação não trivial em S que dê zero. Qualquer subconjunto de S herda essa propriedade, pois ter uma combinação não trivial num subconjunto criaria uma em S. Portanto um subconjunto de um conjunto L.I. nunca pode ser L.D. A afirmação (c) é falsa.

Passo 5

(d) Dado que w1in [,w2,w3], existem escalares alpha,beta tais que
w1 = alpha,w2 + beta,w3
Reescrevendo alpha,w2 + beta,w3 -1cdot w1=0 com coeficientes nem todos nulos, vemos que w1,w2,w3 é L.D. Logo (d) é verdadeira.

Passo 6

(e) A igualdade de spans
[,w1,w2,] ;=;[,w1,w2,w3,]
significa que w3 já está em [,w1,w2,]. Logo existem alpha,beta tais que w3=alpha,w1+beta,w2. Isso produz a combinação não trivial alpha,w1+beta,w2-1cdot w3=0, mostrando que w1,w2,w3 é L.D. Portanto (e) é verdadeira.

Passo 7

(f) Se w1,w2,w3 é L.I., então nenhum deles está no span dos outros dois, caso contrário haveria dependência. Assim o span de w1,w2,w3 é estritamente maior que o span de w1,w2. Logo não pode valer [,w1,w2,]=[,w1,w2,w3,]. A afirmação (f) é falsa.

Resposta

a) Verdadeira
b) Verdadeira
c) Falsa
d) Verdadeira
e) Verdadeira
f) Falsa

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