Considere os vetores u=\left[\begin{array}{c}4 \\\\ 4 \\\\ -4 \\\\ 4\end{array}\right] ; v=\left[\begin{array}{l}4 \\\\ 2 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right] ; w=\left[\begin{array}{c}2 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ -1\end{array}\right].
(a) Determine o ângulo entre os vetores.
(b) Determine a projeção do vetor u nos vetores v e w respetivamente.
(c) Determine um vetor que seja ortogonal aos vetores v e w.
(d) É possível encontrar um vetor ortogonal aos três vetores simultaneamente? Explique.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (peguei estes vetores do enunciado):
u=\begin{pmatrix}4\\[4pt]4\\[4pt]-4\\[4pt]4\end{pmatrix},\qquad v=\begin{pmatrix}4\\[4pt]2\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad w=\begin{pmatrix}2\\[4pt]0\\[4pt]1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
O enunciado pede:
(a) Determinar o ângulo entre os vetores (vou interpretar como o ângulo entre u e v, pois depois pedem a projeção de u em v e w).
(b) Determinar a projeção de u em v e a projeção de u em w.
(c) Encontrar um vetor que seja ortogonal aos vetores v e w.
(d) Dizer se existe um vetor (não nulo) ortogonal aos três vetores simultaneamente e explicar.]

Passo 2

Calcular o ângulo entre u e v: apresentação da fórmula e cálculo passo a passo.
Teoria rápida (fórmula e significado):
  • Produto escalar de dois vetores x=(x_1,\ldots,x_n) e y=(y_1,\ldots,y_n) é
x\cdot y=\sum_{i=1}^{n} x_i y_i.
  • Norma (comprimento) de x é
\|x\|=\sqrt{x\cdot x}=\sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_i^2}.
  • O cosseno do ângulo \theta entre x e y é dado por
\cos\theta=\frac{x\cdot y}{\|x\|\,\|y\|}.
Aqui cada variável significa: x\cdot y é o produto escalar, \|x\| é a norma de x, e \theta é o ângulo entre os vetores.
Aplicando a fórmula a u e v:
Calcule o produto escalar u\cdot v:
u\cdot v = 4\cdot 4 + 4\cdot 2 + (-4)\cdot 1 + 4\cdot 1 = 16+8-4+4 = 24.
Calcule as normas:
\|u\|=\sqrt{4^2+4^2+(-4)^2+4^2}=\sqrt{16+16+16+16}=\sqrt{64}=8,
\|v\|=\sqrt{4^2+2^2+1^2+1^2}=\sqrt{16+4+1+1}=\sqrt{22}.
Logo o cosseno do ângulo é
\cos\theta=\frac{u\cdot v}{\|u\|\,\|v\|}=\frac{24}{8\sqrt{22}}=\frac{3}{\sqrt{22}}.
Portanto o ângulo
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{3}{\sqrt{22}}\right)\approx 50{,}2^\circ.
Interpretação curta: \frac{3}{\sqrt{22}} é aproximadamente 0{,}6396, e \operatorname{arccos}(0{,}6396) dá cerca de 50{,}2^\circ.

Passo 3

Projeção de u em v: fórmula, significado e cálculo.
Teoria rápida (fórmula de projeção):
  • A projeção vetorial de u sobre v (denotada \operatorname{proj}_{v}u) é
\operatorname{proj}_{v}u=\frac{u\cdot v}{v\cdot v}\,v.
Aqui u\cdot v é o produto escalar já calculado, v\cdot v=\|v\|^2 é o quadrado da norma de v, e o quociente é o escalar que multiplica o vetor v para obter a projeção.
Cálculo:
Já temos u\cdot v=24 e v\cdot v=22. Então
\operatorname{proj}_{v}u=\frac{24}{22}\,v=\frac{12}{11}\,v.
Multiplicando componente a componente:
\operatorname{proj}_{v}u=\frac{12}{11}\begin{pmatrix}4\\[4pt]2\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\dfrac{48}{11}\\[6pt]\dfrac{24}{11}\\[6pt]\dfrac{12}{11}\\[6pt]\dfrac{12}{11}\end{pmatrix}.
Observação didática: esse vetor é a “sombra” de u na direção de v; a diferença u-\operatorname{proj}_{v}u é ortogonal a v.]

Passo 4

Projeção de u em w: cálculo e interpretação do resultado.
Primeiro calcule o produto escalar u\cdot w:
u\cdot w = 4\cdot 2 + 4\cdot 0 + (-4)\cdot 1 + 4\cdot(-1) = 8 + 0 -4 -4 = 0.
Como u\cdot w=0, pela fórmula da projeção
\operatorname{proj}_{w}u=\frac{u\cdot w}{w\cdot w}\,w=\frac{0}{w\cdot w}\,w=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Interpretação: a projeção nula significa que u é ortogonal a w. Ou seja, o comprimento da componente de u na direção de w é zero.]

Passo 5

Encontrar um vetor ortogonal a v e w: resolução do sistema linear e interpretação.
Queremos x=(x_1,x_2,x_3,x_4)^T tal que
x\cdot v=0,\qquad x\cdot w=0.
Escrevendo as equações:
4x_1+2x_2+1x_3+1x_4=0, \tag{1}
2x_1+0x_2+1x_3-1x_4=0. \tag{2}
Resolva (2) para x_3:
2x_1+x_3-x_4=0 \Rightarrow x_3=-2x_1+x_4.
Substitua em (1):
4x_1+2x_2+(-2x_1+x_4)+x_4=0
\Rightarrow 2x_1+2x_2+2x_4=0 \Rightarrow x_1+x_2+x_4=0.
Escolha parâmetros livres: tome x_1=s e x_4=t. Então
x_2=-x_1-x_4=-s-t,
x_3=-2x_1+x_4=-2s+t.
Portanto o espaço solução é
x=s\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]-2\\[4pt]0\end{pmatrix} +t\begin{pmatrix}0\\[4pt]-1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix},
com s,t\in\mathbb{R}. Ou seja, existem infinitos vetores ortogonais a v e w; são combinações lineares das duas bases acima.
Um vetor simples e válido é (tomando s=1,t=0)
\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]-2\\[4pt]0\end{pmatrix},
pois confirma v\cdot(1,-1,-2,0)=0 e w\cdot(1,-1,-2,0)=0.]

Passo 6

Existe um vetor ortogonal aos três vetores u,v,w simultaneamente? (explicação e construção explícita)
Argumento de dimensão (intuição rápida): em \mathbb{R}^4 um conjunto de no máximo três vetores gera um subespaço de dimensão no máximo 3. O conjunto de vetores ortogonais a esse subespaço tem dimensão 4- (dimensão do subespaço). Como 4-3=1, sempre existe (pelo menos) um vetor não nulo ortogonal a três vetores em \mathbb{R}^4. Logo existe, desde que os três vetores não gerem todo \mathbb{R}^4 — e três vetores nunca geram \mathbb{R}^4 inteiro porque precisariam de quatro vetores para isso.
Construção explícita (usar a base da solução do passo anterior e impor ortogonalidade a u):
Queremos x que satisfaça as três equações x\cdot v=0, x\cdot w=0 e x\cdot u=0. No passo anterior vimos que soluções gerais de x ortogonais a v e w são
x=s\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]-2\\[4pt]0\end{pmatrix} +t\begin{pmatrix}0\\[4pt]-1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Imponha agora x\cdot u=0. Calcule o produto escalar com u=(4,4,-4,4):
u\cdot x = s\big(4\cdot 1 + 4\cdot(-1) + (-4)\cdot(-2) + 4\cdot 0\big) + t\big(4\cdot 0 + 4\cdot(-1) + (-4)\cdot 1 + 4\cdot 1\big).
Calcule os termos:
\text{coeficiente de }s: 4-4+8+0=8,
\text{coeficiente de }t: 0-4-4+4=-4.
Portanto a condição u\cdot x=0 é
8s-4t=0 \Longrightarrow 2s-t=0 \Longrightarrow t=2s.
Tomando s=1 (qualquer escala é válida), obtemos t=2 e então
x=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]-2\\[4pt]0\end{pmatrix} +2\begin{pmatrix}0\\[4pt]-1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\[4pt]-3\\[4pt]0\\[4pt]2\end{pmatrix}.
Verificação rápida (produto escalar com cada vetor):
u\cdot\begin{pmatrix}1\\\ -3\\\ 0\\\ 2\end{pmatrix}=4-12+0+8=0,
v\cdot\begin{pmatrix}1\\\ -3\\\ 0\\\ 2\end{pmatrix}=4-6+0+2=0,
w\cdot\begin{pmatrix}1\\\ -3\\\ 0\\\ 2\end{pmatrix}=2+0+0-2=0.
Portanto \begin{pmatrix}1\\\ -3\\\ 0\\\ 2\end{pmatrix} é um vetor não nulo ortogonal simultaneamente a u,v,w.
Conclusão conceitual: sim, existe (na verdade existe um subespaço unidimensional de vetores ortogonais simultaneamente a u,v,w neste caso), e um exemplo concreto é dado acima.]

Resposta

(a) \theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{3}{\sqrt{22}}\right)\approx 50{,}2^\circ
(b) \operatorname{proj}_{v}u=\begin{pmatrix}\dfrac{48}{11}\\[6pt]\dfrac{24}{11}\\[6pt]\dfrac{12}{11}\\[6pt]\dfrac{12}{11}\end{pmatrix},\qquad \operatorname{proj}_{w}u=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}
(c) Um vetor ortogonal a v e w é \begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]-2\\[4pt]0\end{pmatrix} (há infinitos; este é um exemplo).
(d) Sim. Por dimensão em \mathbb{R}^4 existe um vetor não nulo ortogonal a u,v,w; um exemplo é \begin{pmatrix}1\\[4pt]-3\\[4pt]0\\[4pt]2\end{pmatrix}.]

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