Considere os vetores u=\left[\begin{array}{c}4 \\\\ 4 \\\\ -4 \\\\ 4\end{array}\right] ; v=\left[\begin{array}{l}4 \\\\ 2 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right] ; w=\left[\begin{array}{c}2 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ -1\end{array}\right].
(a) Determine o ângulo entre os vetores.
(b) Determine a projeção do vetor u nos vetores v e w respetivamente.
(c) Determine um vetor que seja ortogonal aos vetores v e w.
(d) É possível encontrar um vetor ortogonal aos três vetores simultaneamente? Explique.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
O enunciado pede:
(a) Determinar o ângulo entre os vetores (vou interpretar como o ângulo entre u e v, pois depois pedem a projeção de u em v e w).
(b) Determinar a projeção de u em v e a projeção de u em w.
(c) Encontrar um vetor que seja ortogonal aos vetores v e w.
(d) Dizer se existe um vetor (não nulo) ortogonal aos três vetores simultaneamente e explicar.]
Passo 2
Calcular o ângulo entre u e v: apresentação da fórmula e cálculo passo a passo.
Teoria rápida (fórmula e significado):
Produto escalar de dois vetores x=(x_1,\ldots,x_n) e y=(y_1,\ldots,y_n) é
Aqui u\cdot v é o produto escalar já calculado, v\cdot v=\|v\|^2 é o quadrado da norma de v, e o quociente é o escalar que multiplica o vetor v para obter a projeção.
Cálculo:
Já temos u\cdot v=24 e v\cdot v=22. Então
pois confirma v\cdot(1,-1,-2,0)=0 e w\cdot(1,-1,-2,0)=0.]
Passo 6
Existe um vetor ortogonal aos três vetores u,v,w simultaneamente? (explicação e construção explícita)
Argumento de dimensão (intuição rápida): em \mathbb{R}^4 um conjunto de no máximo três vetores gera um subespaço de dimensão no máximo 3. O conjunto de vetores ortogonais a esse subespaço tem dimensão 4- (dimensão do subespaço). Como 4-3=1, sempre existe (pelo menos) um vetor não nulo ortogonal a três vetores em \mathbb{R}^4. Logo existe, desde que os três vetores não gerem todo \mathbb{R}^4 — e três vetores nunca geram \mathbb{R}^4 inteiro porque precisariam de quatro vetores para isso.
Construção explícita (usar a base da solução do passo anterior e impor ortogonalidade a u):
Queremos x que satisfaça as três equações x\cdot v=0, x\cdot w=0 e x\cdot u=0. No passo anterior vimos que soluções gerais de x ortogonais a v e w são
Portanto \begin{pmatrix}1\\\ -3\\\ 0\\\ 2\end{pmatrix} é um vetor não nulo ortogonal simultaneamente a u,v,w.
Conclusão conceitual: sim, existe (na verdade existe um subespaço unidimensional de vetores ortogonais simultaneamente a u,v,w neste caso), e um exemplo concreto é dado acima.]
(c) Um vetor ortogonal a v e w é \begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]-2\\[4pt]0\end{pmatrix} (há infinitos; este é um exemplo).
(d) Sim. Por dimensão em \mathbb{R}^4 existe um vetor não nulo ortogonal a u,v,w; um exemplo é \begin{pmatrix}1\\[4pt]-3\\[4pt]0\\[4pt]2\end{pmatrix}.]