Seja
uma matriz triangular. Mostre
é autovalor de
se, e só se,
está na sua diagonal.
Passo 1
O enunciado dá uma matriz
triangular (pode ser triangular superior ou inferior) e pede para provar a equivalência:
é autovalor de
se, e somente se,
aparece na diagonal de
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
é uma matriz quadrada e triangular (vou usar a notação para a entrada da linha e coluna ). - A tarefa é provar a bicondicional:
é autovalor de existe tal que .
Passo 2
Definições fundamentais (explicadas sem pressupor conhecimento prévio).
- Dizemos que
é autovalor de se existe um vetor não-nulo tal que
Isto é equivalente a dizer que o sistema linear
tem solução não-trivial, ou seja, que a matriz
é singular (não invertível). Uma condição equivalente para singularidade é
- Se
é triangular (por exemplo triangular superior), então subtrair da diagonal não muda essa estrutura: também é triangular (mesmo tipo) e os elementos da sua diagonal são exatamente .
Vou usar essas duas ideias: ligação entre autovalor e determinante e o fato de que
é triangular com diagonal
.
Passo 3
Lema (muito útil): o determinante de uma matriz triangular é o produto das entradas da sua diagonal.
Prova do lema por indução no tamanho
(detalhada para você poder reproduzir na prova):
Base
. Se
a matriz é
e
, que é o produto da diagonal (trivial).
Passo de indução. Suponha verdadeiro para todas as matrizes triangulares
. Seja
uma matriz triangular
. Vou considerar o caso de triangular superior (o caso inferior é análogo). A primeira coluna de
tem zeros em todas as posições abaixo da primeira entrada, isto é,
para
. Ao calcular o determinante por expansão de Laplace pela primeira coluna, apenas o cofactor da entrada
contribui; os demais são multiplicados por zeros. Assim
onde
é a submatriz
obtida eliminando a primeira linha e primeira coluna. Mas
também é triangular superior, então, por hipótese de indução,
Logo
Isso fecha a indução. Portanto, o lema é provado: determinante de triangular = produto das entradas diagonais.
Passo 4
Aplicação do lema ao nosso problema (característica).
Considere a matriz
. Como observado, ela é triangular e tem diagonal
. Pelo lema,
A definição de autovalor diz que
é autovalor de
exatamente quando
. Pela expressão acima isso acontece exatamente quando o produto
é zero, ou seja, quando pelo menos um fator é zero. Portanto:
Isto prova a bicondicional desejada:
é autovalor de
se, e somente se,
aparece na diagonal de
.
Passo 5
Comentário construtivo (como achar um autovetor na prova / na prova prática).
Se você quer construir explicitamente um autovetor associado a um autovalor
que coincide com
, pode resolver o sistema triangular
por substituição (back-substitution se
é triangular superior, forward-substitution se é inferior). Como
, esse sistema tem solução não-trivial; a estrutura triangular facilita muito: escolhe-se uma variável livre (associada a uma linha cujo pivô é zero) e resolve-se as demais por substituição direta. Não precisa decorar um algoritmo complicado: você escreve as equações linha a linha e resolve de trás para frente (ou frente para trás), escolhendo alguma componente do vetor diferente de zero para obter uma solução não-nula. Isso é especialmente simples para matrizes triangulares porque cada equação envolve poucas variáveis já conhecidas ou escolhidas.