Seja A uma matriz triangular. Mostre \lambda é autovalor de A se, e só se, \lambda está na sua diagonal.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz A triangular (pode ser triangular superior ou inferior) e pede para provar a equivalência: \lambda é autovalor de A se, e somente se, \lambda aparece na diagonal de A.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A é uma matriz quadrada n\times n e triangular (vou usar a notação a_{ij} para a entrada da linha i e coluna j).
  • A tarefa é provar a bicondicional: \lambda é autovalor de A \iff existe i tal que a_{ii}=\lambda.

Passo 2

Definições fundamentais (explicadas sem pressupor conhecimento prévio).
  • Dizemos que \lambda é autovalor de A se existe um vetor não-nulo v tal que
A v = \lambda v.
Isto é equivalente a dizer que o sistema linear
(A-\lambda I)v = 0
tem solução não-trivial, ou seja, que a matriz A-\lambda I é singular (não invertível). Uma condição equivalente para singularidade é
\det(A-\lambda I)=0.
  • Se A é triangular (por exemplo triangular superior), então subtrair \lambda da diagonal não muda essa estrutura: A-\lambda I também é triangular (mesmo tipo) e os elementos da sua diagonal são exatamente a_{11}-\lambda,\;a_{22}-\lambda,\;\dots,\;a_{nn}-\lambda.
Vou usar essas duas ideias: ligação entre autovalor e determinante e o fato de que A-\lambda I é triangular com diagonal a_{ii}-\lambda.

Passo 3

Lema (muito útil): o determinante de uma matriz triangular é o produto das entradas da sua diagonal.
Prova do lema por indução no tamanho n (detalhada para você poder reproduzir na prova):
Base n=1. Se n=1 a matriz é [a_{11}] e \det([a_{11}])=a_{11}, que é o produto da diagonal (trivial).
Passo de indução. Suponha verdadeiro para todas as matrizes triangulares (n-1)\times(n-1). Seja T uma matriz triangular n\times n. Vou considerar o caso de triangular superior (o caso inferior é análogo). A primeira coluna de T tem zeros em todas as posições abaixo da primeira entrada, isto é, t_{i1}=0 para i>1. Ao calcular o determinante por expansão de Laplace pela primeira coluna, apenas o cofactor da entrada t_{11} contribui; os demais são multiplicados por zeros. Assim
\det T = t_{11}\cdot \det T_{11},
onde T_{11} é a submatriz (n-1)\times(n-1) obtida eliminando a primeira linha e primeira coluna. Mas T_{11} também é triangular superior, então, por hipótese de indução,
\det T_{11}=\prod_{i=2}^n t_{ii}.
Logo
\det T = t_{11}\prod_{i=2}^n t_{ii}=\prod_{i=1}^n t_{ii}.
Isso fecha a indução. Portanto, o lema é provado: determinante de triangular = produto das entradas diagonais.

Passo 4

Aplicação do lema ao nosso problema (característica).
Considere a matriz A-\lambda I. Como observado, ela é triangular e tem diagonal \bigl(a_{11}-\lambda,\;a_{22}-\lambda,\;\dots,\;a_{nn}-\lambda\bigr). Pelo lema,
\det(A-\lambda I)=\prod_{i=1}^n (a_{ii}-\lambda).
A definição de autovalor diz que \lambda é autovalor de A exatamente quando \det(A-\lambda I)=0. Pela expressão acima isso acontece exatamente quando o produto \prod_{i=1}^n (a_{ii}-\lambda) é zero, ou seja, quando pelo menos um fator é zero. Portanto:
\det(A-\lambda I)=0 \iff \exists\, i \text{ tal que } a_{ii}-\lambda=0 \iff \exists\, i \text{ tal que } a_{ii}=\lambda.
Isto prova a bicondicional desejada: \lambda é autovalor de A se, e somente se, \lambda aparece na diagonal de A.

Passo 5

Comentário construtivo (como achar um autovetor na prova / na prova prática).
Se você quer construir explicitamente um autovetor associado a um autovalor \lambda que coincide com a_{kk}, pode resolver o sistema triangular
(A-\lambda I)x=0
por substituição (back-substitution se A é triangular superior, forward-substitution se é inferior). Como \det(A-\lambda I)=0, esse sistema tem solução não-trivial; a estrutura triangular facilita muito: escolhe-se uma variável livre (associada a uma linha cujo pivô é zero) e resolve-se as demais por substituição direta. Não precisa decorar um algoritmo complicado: você escreve as equações linha a linha e resolve de trás para frente (ou frente para trás), escolhendo alguma componente do vetor diferente de zero para obter uma solução não-nula. Isso é especialmente simples para matrizes triangulares porque cada equação envolve poucas variáveis já conhecidas ou escolhidas.

Resposta

\lambda é autovalor de A se, e somente se, \lambda\in\{a_{11},a_{22},\dots,a_{nn}\}.

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