Encontre T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2} para o qual v=(2,1) é autovetor relacionado ao autovalor \lambda=3.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 tal que o vetor v=(2,1) seja autovetor associado ao autovalor \lambda=3.
Informações dadas:
  • O vetor autovetor é \,v=(2,1)\,.
  • O autovalor associado é \,\lambda=3\,.
  • O objetivo: construir uma transformação linear T que satisfaça essa condição.

Passo 2

O que significa ser autovetor com autovalor \lambda?
Por definição, um vetor v\neq 0 é autovetor de T associado ao autovalor \lambda quando vale
T(v)=\lambda v.
No nosso caso isso vira a condição explícita
T(2,1)=3\cdot(2,1)=(6,3).
Ou seja: a transformação tem que mandar o vetor (2,1) no vetor (6,3).

Passo 3

Modo prático de construir T: representar T pela matriz A na base canônica, isto é, T(x)=A x para todo x\in\mathbb{R}^2. Escrevemos
A=\begin{pmatrix} a & b \\[4pt] c & d \end{pmatrix},
com incógnitas reais a,b,c,d. A condição A(2,1)^{T}=(6,3)^{T} dá um sistema linear para a,b,c,d. Calculando o produto:
\begin{pmatrix} a & b \\[4pt] c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\[2pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2a+b\\[4pt]2c+d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6\\[4pt]3\end{pmatrix}.]

Passo 4

Das igualdades acima obtemos as duas equações
2a+b=6, \qquad 2c+d=3.
Isto significa que a e c podem ser expressos em função de b e d:
a=\frac{6-b}{2},\qquad c=\frac{3-d}{2}.
Portanto existe uma família infinita de matrizes A (e, logo, de transformações T) que satisfazem a condição; temos duas restrições para quatro incógnitas, sobrando dois graus de liberdade.

Passo 5

Escolhemos uma solução simples da família acima para escrever uma transformação concreta e verificá‑la. Tomando b=0 e d=3 obtemos
a=\frac{6-0}{2}=3,\qquad c=\frac{3-3}{2}=0,
logo uma escolha natural é
A=\begin{pmatrix}3 & 0\\[4pt]0 & 3\end{pmatrix}.
Essa matriz define a transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 dada por
T(x,y)=(3x,3y).
Verificação rápida:
T(2,1)=(3\cdot2,3\cdot1)=(6,3)=3\cdot(2,1),
logo (2,1) é de fato autovetor associado a \lambda=3.]

Passo 6

Resumo e observação final: uma transformação válida é T(x,y)=(3x,3y). Como visto, há infinitas outras escolhas (qualquer A com 2a+b=6 e 2c+d=3 funciona). A escolha feita foi a mais simples (multiplicação por 3, que torna todo vetor autovetor de autovalor 3), o que facilita verificação na prova.

Resposta

T(x,y)=(3x,3y)

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