Encontre
para o qual
é autovetor relacionado ao autovalor
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma transformação linear
tal que o vetor
seja autovetor associado ao autovalor
.
Informações dadas:
- O vetor autovetor é
. - O autovalor associado é
. - O objetivo: construir uma transformação linear
que satisfaça essa condição.
Passo 2
O que significa ser autovetor com autovalor
?
Por definição, um vetor é autovetor de
associado ao autovalor
quando vale
Por definição, um vetor
No nosso caso isso vira a condição explícita
Ou seja: a transformação tem que mandar o vetor
no vetor
.
Passo 3
Modo prático de construir
: representar
pela matriz
na base canônica, isto é,
para todo
. Escrevemos
com incógnitas reais
. A condição
dá um sistema linear para
. Calculando o produto:
Passo 4
Das igualdades acima obtemos as duas equações
Isto significa que
e
podem ser expressos em função de
e
:
Portanto existe uma família infinita de matrizes
(e, logo, de transformações
) que satisfazem a condição; temos duas restrições para quatro incógnitas, sobrando dois graus de liberdade.
Passo 5
Escolhemos uma solução simples da família acima para escrever uma transformação concreta e verificá‑la. Tomando
e
obtemos
logo uma escolha natural é
Essa matriz define a transformação linear
dada por
Verificação rápida:
logo
é de fato autovetor associado a
.]
Passo 6
Resumo e observação final: uma transformação válida é
. Como visto, há infinitas outras escolhas (qualquer
com
e
funciona). A escolha feita foi a mais simples (multiplicação por
, que torna todo vetor autovetor de autovalor
), o que facilita verificação na prova.