Uma forma prática de verificar isso é checar se as colunas formam uma matriz invertível. Se a matriz com colunas u,v,w tem determinante diferente de zero, então suas colunas são linearmente independentes e, sendo três vetores em \mathbb{R}^3, eles formam uma base — logo geram \mathbb{R}^3.
Passo 3
Vou então montar a matriz A cujas colunas são u,v,w e calcular \det(A). Regra usada: se \det(A)\neq0 então \{u,v,w\} gera \mathbb{R}^3. (Explicação curta do porquê: matriz invertível tem imagem igual a \mathbb{R}^3, isto é, qualquer b tem solução A x=b.)
Como \det(A)=-34\neq0, a matriz A é invertível. Portanto as colunas u,v,w são linearmente independentes e formam uma base de \mathbb{R}^{3}. Conclusão: \{u,v,w\} gera \mathbb{R}^{3}.
Resposta
Sim. \{u,v,w\} gera \mathbb{R}^{3}, pois \det\begin{pmatrix}-5&3&4\\[4pt]3&-1&-2\\[4pt]2&3&9\end{pmatrix}=-34\neq0.]