Considere os vetores de \mathbb{R}^{3}, u=\left[\begin{array}{c}-5 \\\\ 3 \\\\ 2\end{array}\right], v=\left[\begin{array}{c}3 \\\\ -1 \\\\ 3\end{array}\right] e w=\left[\begin{array}{c}4 \\\\ -2 \\\\ 9\end{array}\right]. Determine se \{u, v, w\} gera \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado dá três vetores de \mathbb{R}^{3}:
u=\begin{pmatrix}-5\\[4pt]3\\[4pt]2\end{pmatrix},\quad v=\begin{pmatrix}3\\[4pt]-1\\[4pt]3\end{pmatrix},\quad w=\begin{pmatrix}4\\[4pt]-2\\[4pt]9\end{pmatrix}.
A pergunta é: a família \{u,v,w\} gera \mathbb{R}^{3}? Ou seja, qualquer vetor b\in\mathbb{R}^{3} pode ser escrito como combinação linear de u,v,w?]

Passo 2

O que significa "gera \mathbb{R}^{3}"? Significa que
\text{span}\{u,v,w\}=\{a\,u+b\,v+c\,w\mid a,b,c\in\mathbb{R}\}=\mathbb{R}^{3}.
Uma forma prática de verificar isso é checar se as colunas formam uma matriz invertível. Se a matriz com colunas u,v,w tem determinante diferente de zero, então suas colunas são linearmente independentes e, sendo três vetores em \mathbb{R}^3, eles formam uma base — logo geram \mathbb{R}^3.

Passo 3

Vou então montar a matriz A cujas colunas são u,v,w e calcular \det(A). Regra usada: se \det(A)\neq0 então \{u,v,w\} gera \mathbb{R}^3. (Explicação curta do porquê: matriz invertível tem imagem igual a \mathbb{R}^3, isto é, qualquer b tem solução A x=b.)

Passo 4

Escrevo a matriz A:
A=\begin{pmatrix} -5 & 3 & 4\\[4pt] 3 & -1 & -2\\[4pt] 2 & 3 & 9 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Calculo o determinante por expansão na primeira linha. Temos
\det(A) = -5\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & -2\\[4pt]3 & 9\end{pmatrix} - 3\cdot\det\begin{pmatrix}3 & -2\\[4pt]2 & 9\end{pmatrix} + 4\cdot\det\begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt]2 & 3\end{pmatrix}.
Agora calculo cada menor 2\times2:
Para o primeiro menor:
\det\begin{pmatrix}-1 & -2\\[4pt]3 & 9\end{pmatrix}=(-1)\cdot9-(-2)\cdot3=-9+6=-3.
Para o segundo menor:
\det\begin{pmatrix}3 & -2\\[4pt]2 & 9\end{pmatrix}=3\cdot9-(-2)\cdot2=27+4=31.
Para o terceiro menor:
\det\begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt]2 & 3\end{pmatrix}=3\cdot3-(-1)\cdot2=9+2=11.]

Passo 6

Substituindo esses valores em \det(A):
\det(A) = -5\cdot(-3) - 3\cdot31 + 4\cdot11.
Calculo passo a passo:
-5\cdot(-3)=15,\qquad -3\cdot31=-93,\qquad 4\cdot11=44.
Somando:
\det(A)=15-93+44=59-93=-34.

Passo 7

Como \det(A)=-34\neq0, a matriz A é invertível. Portanto as colunas u,v,w são linearmente independentes e formam uma base de \mathbb{R}^{3}. Conclusão: \{u,v,w\} gera \mathbb{R}^{3}.

Resposta

Sim. \{u,v,w\} gera \mathbb{R}^{3}, pois \det\begin{pmatrix}-5&3&4\\[4pt]3&-1&-2\\[4pt]2&3&9\end{pmatrix}=-34\neq0.]

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