Para as matrizes abaixo, use a expansão em cofatores para calcular o determinante das matrizes. Escolha a linha ou coluna seja mais conveniente para a expansão de forma a tornar o cálculo menos trabalhoso. A=\left[\begin{array}{ccc}0 & -1 & 3 \\\\ -2 & 1 & 2 \\\\ 0 & 1 & -1\end{array}\right]
Passo 1
Temos a matriz A e a tarefa é calcular o determinante de A usando expansão por cofatores:
O que o enunciado pede: calcular \det(A) usando expansão em cofatores. Informação relevante dada: os elementos de A são exatamente os mostrados na matriz acima (note que a primeira coluna tem dois zeros: \,a_{11}=0 e \,a_{31}=0).
Passo 2
Estratégia (sem resolver ainda): para economizar cálculo, escolhemos expandir por uma coluna ou linha que contenha zeros. Aqui a primeira coluna tem dois zeros (a_{11}=0 e a_{31}=0), então é conveniente expandir por essa coluna — assim sobrarão poucos termos para calcular.
Passo 3
Lembrete didático sobre expansão por cofatores (aula rápida e prática):
Para uma matriz n\times n, o menor (minor) M_{ij} é a matriz (n-1)\times(n-1) obtida removendo a linha i e a coluna j.
O cofator C_{ij} é dado por C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij}).
A fórmula da expansão por cofatores ao longo da coluna j é
Substituindo os valores da primeira coluna: a_{11}=0, a_{21}=-2, a_{31}=0. Portanto os termos com a_{11} e a_{31} são nulos, sobrando apenas o termo com a_{21}:
\det(A)=(-1)^{2+1}\,a_{21}\,\det(M_{21}).
Passo 5
Agora encontramos o menor M_{21}. Removendo a linha 2 e a coluna 1 de A (peguei esses dados da matriz fornecida), obtemos