Para as matrizes abaixo, use a expansão em cofatores para calcular o determinante das matrizes. Escolha a linha ou coluna seja mais conveniente para a expansão de forma a tornar o cálculo menos trabalhoso.
A=\left[\begin{array}{ccc}0 & -1 & 3 \\\\ -2 & 1 & 2 \\\\ 0 & 1 & -1\end{array}\right]

Passo 1

Temos a matriz A e a tarefa é calcular o determinante de A usando expansão por cofatores:
A=\begin{pmatrix}0 & -1 & 3 \\\\ -2 & 1 & 2 \\\\ 0 & 1 & -1\end{pmatrix}
O que o enunciado pede: calcular \det(A) usando expansão em cofatores. Informação relevante dada: os elementos de A são exatamente os mostrados na matriz acima (note que a primeira coluna tem dois zeros: \,a_{11}=0 e \,a_{31}=0).

Passo 2

Estratégia (sem resolver ainda): para economizar cálculo, escolhemos expandir por uma coluna ou linha que contenha zeros. Aqui a primeira coluna tem dois zeros ( a_{11}=0 e a_{31}=0), então é conveniente expandir por essa coluna — assim sobrarão poucos termos para calcular.

Passo 3

Lembrete didático sobre expansão por cofatores (aula rápida e prática):
  • Para uma matriz n\times n, o menor (minor) M_{ij} é a matriz (n-1)\times(n-1) obtida removendo a linha i e a coluna j.
  • O cofator C_{ij} é dado por C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij}).
  • A fórmula da expansão por cofatores ao longo da coluna j é
\det(A)=\sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j}\,a_{ij}\,\det(M_{ij}).
Aqui a_{ij} é o elemento da matriz na linha i e coluna j. Para uma matriz 3\times3 a fórmula se reduz a três termos.

Passo 4

Aplicando a expansão ao longo da primeira coluna ( j=1) para a nossa 3\times3:
\det(A)=(-1)^{1+1}a_{11}\det(M_{11})+(-1)^{2+1}a_{21}\det(M_{21})+(-1)^{3+1}a_{31}\det(M_{31}).
Substituindo os valores da primeira coluna: a_{11}=0, a_{21}=-2, a_{31}=0. Portanto os termos com a_{11} e a_{31} são nulos, sobrando apenas o termo com a_{21}:
\det(A)=(-1)^{2+1}\,a_{21}\,\det(M_{21}).

Passo 5

Agora encontramos o menor M_{21}. Removendo a linha 2 e a coluna 1 de A (peguei esses dados da matriz fornecida), obtemos
M_{21}=\begin{pmatrix}-1 & 3 \\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}.
Para uma matriz 2\times2 a regra de cálculo do determinante é \det\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}=ad-bc. Aplicando isso a M_{21}:
\det(M_{21}) = (-1)\cdot(-1) - 3\cdot 1 = 1 - 3 = -2.]

Passo 6

Calcule o fator de sinal e faça a multiplicação final. O expoente do sinal é 2+1=3, então
(-1)^{2+1}=(-1)^3=-1.
Temos a_{21}=-2 e \det(M_{21})=-2. Portanto
\det(A)=(-1)\cdot(-2)\cdot(-2).
Faça as operações passo a passo: (-1)\cdot(-2)=2 e 2\cdot(-2)=-4.

Resposta

-4

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