Para as matrizes abaixo, use a expansão em cofatores para calcular o determinante das matrizes. Escolha a linha ou coluna seja mais conveniente para a expansão de forma a tornar o cálculo menos trabalhoso.
A=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 \\\\ -1 & 3 & -1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz A e pede para calcular o determinante usando expansão em cofatores:
A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 1\\[4pt] -1 & 3 & -1 \end{pmatrix}
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  1. A matriz é 3\times3.
  2. Devemos usar a expansão em cofatores (expansão por linha ou coluna).
  3. Podemos escolher a linha ou coluna que tornar o cálculo menos trabalhoso.]

Passo 2

Explicando o método (aula rápida e prática):
  • Para uma matriz 3\times3, o determinante pode ser obtido por expansão em cofatores.
  • Definições importantes:
    • O menor M_{ij} é o determinante da submatriz obtida ao eliminar a linha i e a coluna j.
    • O cofator C_{ij} é dado por C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
  • A expansão por uma linha i é:
\det(A)=\sum_{j=1}^{3} a_{ij}\,C_{ij}=\sum_{j=1}^{3} a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}
  • Observação prática: ao expandir por uma linha ou coluna que contenha zeros, muitos termos somam zero e o cálculo fica muito mais simples.

Passo 3

Escolhendo onde expandir:
  • Olhando para A, a segunda linha é \bigl(0,\;0,\;1\bigr). Tem dois zeros, então é a escolha óbvia para economizar trabalho: ao expandir pela linha 2, só restará um termo não nulo.
  • Vamos usar a fórmula da expansão pela linha 2:
\det(A)=a_{21}C_{21}+a_{22}C_{22}+a_{23}C_{23}

Passo 4

Aplicando os valores da linha 2:
  • Os elementos da linha 2 são a_{21}=0, a_{22}=0, a_{23}=1. Logo
\det(A)=0\cdot C_{21}+0\cdot C_{22}+1\cdot C_{23}=C_{23}.
  • Portanto basta calcular C_{23}.

Passo 5

Calculando o cofator C_{23}:
  • Pela definição C_{23}=(-1)^{2+3}M_{23}=(-1)^5 M_{23}=-M_{23}.
  • O menor M_{23} é o determinante da submatriz obtida eliminando a linha 2 e a coluna 3. Pegamos, portanto, as linhas 1 e 3 e as colunas 1 e 2, obtendo a matriz 2\times2:
\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]-1 & 3\end{pmatrix}]

Passo 6

Calculando o determinante do 2\times2 (fórmula e aplicação):
  • Para uma matriz 2\times2 \begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}, o determinante é ad-bc.
  • Aplicando aos valores acima: a=1, b=-1, c=-1, d=3. Então
M_{23}=1\cdot 3 - (-1)\cdot(-1)=3-1=2.
  • Assim C_{23}=-M_{23}=-2.]

Passo 7

Conclusão do cálculo do determinante:
  • Como \det(A)=C_{23} e C_{23}=-2, temos
\det(A)=-2.

Resposta

-2

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