Para as matrizes abaixo, use a expansão em cofatores para calcular o determinante das matrizes. Escolha a linha ou coluna seja mais conveniente para a expansão de forma a tornar o cálculo menos trabalhoso. A=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 \\\\ -1 & 3 & -1\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá a matriz A e pede para calcular o determinante usando expansão em cofatores:
Observação prática: ao expandir por uma linha ou coluna que contenha zeros, muitos termos somam zero e o cálculo fica muito mais simples.
Passo 3
Escolhendo onde expandir:
Olhando para A, a segunda linha é \bigl(0,\;0,\;1\bigr). Tem dois zeros, então é a escolha óbvia para economizar trabalho: ao expandir pela linha 2, só restará um termo não nulo.
Vamos usar a fórmula da expansão pela linha 2:
\det(A)=a_{21}C_{21}+a_{22}C_{22}+a_{23}C_{23}
Passo 4
Aplicando os valores da linha 2:
Os elementos da linha 2 são a_{21}=0, a_{22}=0, a_{23}=1. Logo
Pela definição C_{23}=(-1)^{2+3}M_{23}=(-1)^5 M_{23}=-M_{23}.
O menor M_{23} é o determinante da submatriz obtida eliminando a linha 2 e a coluna 3. Pegamos, portanto, as linhas 1 e 3 e as colunas 1 e 2, obtendo a matriz 2\times2:
\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]-1 & 3\end{pmatrix}]
Passo 6
Calculando o determinante do 2\times2 (fórmula e aplicação):
Para uma matriz 2\times2\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}, o determinante é ad-bc.
Aplicando aos valores acima: a=1, b=-1, c=-1, d=3. Então