Enunciado Questão 6

A integral de superficie para o cálculo de massa segue a premissa das integrais duplas sobre o produto entre uma função de densidade e o módulo do vetor normal à superfície.
Considere o hemisfério S: x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 \operatorname{com} z \geq 0. E a função de densidade \delta=1. Reconheça a área do hemisfério A=\int_{S} \int \delta(S)\left\|\overrightarrow{\boldsymbol{X}_{\boldsymbol{\theta}}} \wedge \overrightarrow{\boldsymbol{X}_{\varphi}}\right\| d \boldsymbol{\theta} d \varphi.

Alternativas

A) 3 \pi
B) \frac{\pi}{4}
C) 4 \pi
D) \frac{\pi}{2}
E) 2 \pi

Passo 1

O enunciado pede a área do hemisfério unitário S\colon x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 com z\ge0, usando densidade constante \delta=1. O conteúdo é integral de superfície, que usa parametrização esférica para calcular
A=\iint_{S} \|\mathbf{X}_{\theta}\times\mathbf{X}_{\varphi}\|\,d\theta\,d\varphi.

Passo 2

Parametrizamos o hemisfério por
\mathbf{X}(\theta,\varphi)=\bigl(\sin\varphi\cos\theta,\;\sin\varphi\sin\theta,\;\cos\varphi\bigr),
com \theta\in[0,2\pi] e \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}]. Vamos calcular \mathbf{X}_{\theta} e \mathbf{X}_{\varphi}.

Passo 3

Derivando,
\mathbf{X}_{\theta}=(-\sin\varphi\sin\theta,\;\sin\varphi\cos\theta,\,0), \qquad \mathbf{X}_{\varphi}=(\cos\varphi\cos\theta,\;\cos\varphi\sin\theta,\;-\,\sin\varphi).
O módulo do produto vetorial é
\|\mathbf{X}_{\theta}\times\mathbf{X}_{\varphi}\| =\sin\varphi.

Passo 4

A área do hemisfério é
A=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.
Primeiro integramos em \varphi:
\int_{0}^{\pi/2}\sin\varphi\,d\varphi =[-\,\cos\varphi]_{0}^{\pi/2} =1.
Em seguida em \theta:
\int_{0}^{2\pi}1\,d\theta =2\pi.

Resposta

E) 2\pi

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