Considere os vetores u=(1,2,5), v=(2,-3,5) e w=(4,2,-3) em \Re^{3} e \langle\cdot, \cdot\rangle o produto interno usual em \Re^{3}. Calcule:
\langle u, v\rangle

Passo 1

O enunciado dá os vetores em \Re^{3}:
u=(1,2,5),\qquad v=(2,-3,5).
A pergunta é calcular o produto interno \langle u,v\rangle. Vou listar as informações relevantes:
  • Coordenadas de u: u_1=1,\;u_2=2,\;u_3=5.
  • Coordenadas de v: v_1=2,\;v_2=-3,\;v_3=5.
  • O produto interno pedido é \langle u,v\rangle (produto escalar usual em \Re^3).

Passo 2

Definição e ideia prática: para vetores em \Re^{3}, o produto interno (produto escalar) é dado por
\langle u,v\rangle = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3,
onde u_i e v_i são as coordenadas dos vetores nas posições i=1,2,3. Isso produz um escalar (um número real). Uma interpretação geométrica útil é que
\langle u,v\rangle = \|u\|\,\|v\|\,\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre u e v, mas aqui usaremos a fórmula componente a componente, que é a mais direta para cálculo.

Passo 3

Aplicar a fórmula aos vetores dados, calculando produto de cada par de coordenadas:
u_1 v_1 = 1\cdot 2 = 2,
u_2 v_2 = 2\cdot (-3) = -6,
u_3 v_3 = 5\cdot 5 = 25.

Passo 4

Somar os produtos parciais para obter o produto interno:
\langle u,v\rangle = 2 + (-6) + 25 = 2 - 6 + 25 = 21.

Resposta

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