Dados os vetores
, encontre uma base ortonormal de
que contenha um múltiplo de
. (Dica: encontre uma base ortogonal de
que contém
e transforme-a em uma base ortonormal.)
Passo 1
O enunciado dá os vetores
e
em
e pede: encontrar uma base ortonormal de
que contenha um múltiplo de
.
Informações relevantes:
- O vetor que obrigatoriamente deve aparecer na base é um múltiplo de
(ou seja, um vetor na mesma direção de ). - Precisamos de uma base ortonormal, ou seja, dois vetores unitários e ortogonais entre si que formem base de
.
Passo 2
Vou lembrar os conceitos importantes (com explicação bem direta):
- Produto escalar (ou dot product) de dois vetores
e em é
- Norma (comprimento) de
é dada por
- Vetores são ortogonais se
. - Uma base ortonormal é um conjunto
tal que e , e que gera todo .
O plano é: normalizar
para obter um vetor unitário na direção de
; depois encontrar um vetor não-nulo ortogonal a
e normalizá-lo.
Passo 3
Calcular a norma de
. Usando a fórmula da norma:
Assim um vetor unitário na direção de
é
Aqui
é um múltiplo de
(exatamente
), então já satisfaz a condição de conter um múltiplo de
.
Passo 4
Agora precisamos de um vetor ortogonal a
. Em
, se
qualquer vetor ortogonal a
é, por exemplo,
ou
(porque
). Para
podemos tomar
que é proporcional a
e satisfaz:
Logo
é ortogonal a
.
Passo 5
Calcular a norma de
:
Normalizando
obtemos o segundo vetor unitário:
Passo 6
Verificações finais (mostrando que
é ortonormal):
- Normas:
e por construção (normalizamos). - Ortogonalidade:
- Esses dois vetores são linearmente independentes e, em
, formam uma base.
Portanto
é uma base ortonormal de
e
é um múltiplo de
(especificamente
).