Dados os vetores u=(1,-2), v=(3,2) \in \Re^{2}, encontre uma base ortonormal de V=\Re^{2} que contenha um múltiplo de u. (Dica: encontre uma base ortogonal de V que contém u e transforme-a em uma base ortonormal.)

Passo 1

O enunciado dá os vetores u=(1,-2) e v=(3,2) em \mathbb{R}^{2} e pede: encontrar uma base ortonormal de V=\mathbb{R}^{2} que contenha um múltiplo de u.
Informações relevantes:
  • O vetor que obrigatoriamente deve aparecer na base é um múltiplo de u (ou seja, um vetor na mesma direção de u).
  • Precisamos de uma base ortonormal, ou seja, dois vetores unitários e ortogonais entre si que formem base de \mathbb{R}^{2}.

Passo 2

Vou lembrar os conceitos importantes (com explicação bem direta):
  • Produto escalar (ou dot product) de dois vetores a=(a_1,a_2) e b=(b_1,b_2) em \mathbb{R}^{2} é
\langle a,b\rangle = a_1 b_1 + a_2 b_2.
  • Norma (comprimento) de a é dada por
\|a\| = \sqrt{\langle a,a\rangle} = \sqrt{a_1^2+a_2^2}.
  • Vetores são ortogonais se \langle a,b\rangle=0.
  • Uma base ortonormal é um conjunto \{e_1,e_2\} tal que \|e_1\|=\|e_2\|=1 e \langle e_1,e_2\rangle=0, e que gera todo \mathbb{R}^{2}.
O plano é: normalizar u para obter um vetor unitário na direção de u; depois encontrar um vetor não-nulo ortogonal a u e normalizá-lo.

Passo 3

Calcular a norma de u. Usando a fórmula da norma:
\|u\| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}.
Assim um vetor unitário na direção de u é
e_1 = \frac{u}{\|u\|} = \left(\frac{1}{\sqrt{5}}, -\frac{2}{\sqrt{5}}\right).
Aqui e_1 é um múltiplo de u (exatamente u/\|u\|), então já satisfaz a condição de conter um múltiplo de u.

Passo 4

Agora precisamos de um vetor ortogonal a u. Em \mathbb{R}^2, se u=(a,b) qualquer vetor ortogonal a u é, por exemplo, (b,-a) ou (-b,a) (porque \langle (a,b),(b,-a)\rangle = ab - ab = 0). Para u=(1,-2) podemos tomar
w = (2,1),
que é proporcional a (-2,-1) e satisfaz:
\langle u,w\rangle = 1\cdot 2 + (-2)\cdot 1 = 2 - 2 = 0.
Logo w é ortogonal a u.

Passo 5

Calcular a norma de w:
\|w\| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}.
Normalizando w obtemos o segundo vetor unitário:
e_2 = \frac{w}{\|w\|} = \left(\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}\right).

Passo 6

Verificações finais (mostrando que \{e_1,e_2\} é ortonormal):
  • Normas: \|e_1\| = 1 e \|e_2\|=1 por construção (normalizamos).
  • Ortogonalidade:
\langle e_1,e_2\rangle = \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right) + \left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) = \frac{2-2}{5} = 0.
  • Esses dois vetores são linearmente independentes e, em \mathbb{R}^2, formam uma base.
Portanto \{e_1,e_2\} é uma base ortonormal de \mathbb{R}^2 e e_1 é um múltiplo de u (especificamente e_1 = u/\|u\|).

Resposta

\displaystyle \left(\frac{1}{\sqrt{5}}, -\frac{2}{\sqrt{5}}\right),\\ \left(\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}\right)

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