Considere o espaço vetorial V=\Re^{3}.
  • (a) Se u_{1}=(1,1,0), u_{2}=(1,3,2) e u_{3}=(4,9,5), encontre S=\left[u_{1}, u_{2}, u_{3}\right] e calcule a sua dimensão. Conclua que S \neq V. (Dica: Verifique que u_{3} é combinação linear de u_{1} e u_{2} ).
  • (b) Encontre uma base de V que contém u_{1} e u_{2}. (Dica: Encontre um vetor que não é combinação linear de u_{1} e u_{2} ).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Vetores fornecidos: u_{1}=(1,1,0),\qquad u_{2}=(1,3,2),\qquad u_{3}=(4,9,5).
  • Perguntas:
    (a) Encontrar S=\left[u_{1},u_{2},u_{3}\right] (o subespaço gerado por esses vetores) e calcular \dim S. Concluir que S\neq V.
    (b) Encontrar uma base de V=\Re^{3} que contenha u_{1} e u_{2}.
Observação: não vou resolver nada ainda aqui; só organizei os dados e as perguntas.

Passo 2

Entendendo o que é S=\left[u_{1},u_{2},u_{3}\right]: isso significa o conjunto de todas as combinações lineares de u_{1},u_{2},u_{3}, isto é
S=\{a u_{1}+b u_{2}+c u_{3}\mid a,b,c\in\Re\}.
Uma dica importante (dada no enunciado) é verificar se u_{3} é combinação linear de u_{1} e u_{2}. Se for, então u_{3} não acrescenta nada ao gerador e
S=\left[u_{1},u_{2}\right].
Vou testar se existem escalares x,y\in\Re tais que
x u_{1}+y u_{2}=u_{3}.
Escrevendo coordenada a coordenada isso dá o sistema
\begin{cases} x + y = 4,\\[4pt] x + 3y = 9,\\[4pt] 0\cdot x + 2y = 5. \end{cases}]

Passo 3

Resolver o sistema acima de forma didática:
  • Da primeira equação \,x+y=4\;\Rightarrow\;x=4-y.
  • Usando a terceira equação \,2y=5\;\Rightarrow\;y=\dfrac{5}{2}.
  • Então x=4-\dfrac{5}{2}=\dfrac{8-5}{2}=\dfrac{3}{2}.
Verificação na segunda equação:
x+3y=\dfrac{3}{2}+3\cdot\dfrac{5}{2}=\dfrac{3+15}{2}=\dfrac{18}{2}=9,
que bate com a segunda equação. Portanto o sistema é consistente e
u_{3}=\dfrac{3}{2}\,u_{1}+\dfrac{5}{2}\,u_{2}.
Conclusão intermediária: u_{3} está no span de u_{1} e u_{2}, logo
S=\left[u_{1},u_{2},u_{3}\right]=\left[u_{1},u_{2}\right].

Passo 4

Agora preciso achar a dimensão de [S). A dimensão do span \left[u_{1},u_{2}\right] é o número de vetores linearmente independentes entre u_{1} e u_{2}. Vou verificar se u_{1} e u_{2} são linearmente independentes.
Definição prática: u_{1} e u_{2} são linearmente independentes se a única solução do sistema
\alpha u_{1}+\beta u_{2}=0
for \alpha=\beta=0.
Escrevendo coordenadas:
\begin{cases} \alpha + \beta = 0,\\[4pt] \alpha + 3\beta = 0,\\[4pt] 0\cdot\alpha + 2\beta = 0. \end{cases}
Da terceira equação vem 2\beta=0\Rightarrow\beta=0\]. Então pela primeira \(\alpha=0. Assim \alpha=\beta=0 é a única solução, logo u_{1} e u_{2} são linearmente independentes.
Portanto
\dim S=2.
Por fim, como V=\Re^{3} tem dimensão 3, temos \dim S=2<3=\dim V, então S é um subespaço próprio e, em particular,
S\neq V.]

Passo 5

Agora a parte (b): encontrar uma base de [V) que contenha u_{1} e u_{2}.
Conceito usado: uma base de V é um conjunto de vetores linearmente independentes que geram V. Como já temos dois vetores independentess u_{1},u_{2}, basta achar um vetor v\in\Re^{3} que NÃO pertença a \left[u_{1},u_{2}\right]; então \{u_{1},u_{2},v\} será uma família de três vetores em \Re^{3}. Se esses três forem linearmente independentes, serão automaticamente uma base de V (porque em \Re^{3} qualquer conjunto de 3 vetores linearmente independentes forma uma base).
Uma escolha simples e comum é escolher v=(0,0,1). Vou verificar que v\notin\left[u_{1},u_{2}\right]. Se estivesse no span, existiriam a,b tais que
a u_{1}+b u_{2}=v,
isto é
\begin{cases} a + b = 0,\\[4pt] a + 3b = 0,\\[4pt] 0\cdot a + 2b = 1. \end{cases}
Da terceira equação 2b=1\Rightarrow b=\dfrac{1}{2}\]. Então da primeira \(a=-b=-\dfrac{1}{2}. Substituindo na segunda:
a+3b=-\dfrac{1}{2}+3\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{-1+3}{2}=\dfrac{2}{2}=1\neq 0,
o que contradiz a segunda equação. Portanto não existem a,b que satisfaçam todas as equações; assim v=(0,0,1)\notin\left[u_{1},u_{2}\right].]

Passo 6

Agora mostrar que \{u_{1},u_{2},v\}\) é linearmente independente (e portanto base). Tome coeficientes \(\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3}\) tais que \[\lambda_{1}u_{1}+\lambda_{2}u_{2}+\lambda_{3}v=0.
Escrevendo coordenadas:
\begin{cases} \lambda_{1}+\lambda_{2}=0,\\[4pt] \lambda_{1}+3\lambda_{2}=0,\\[4pt] 0\cdot\lambda_{1}+2\lambda_{2}+\lambda_{3}=0. \end{cases}
Das duas primeiras equações, subtraindo a primeira da segunda, obtém-se 2\lambda_{2}=0\Rightarrow\lambda_{2}=0\]. Então \(\lambda_{1}=0 pela primeira equação. Da terceira equação vem \lambda_{3}=0. Logo \lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda_{3}=0. Isso mostra independência linear.
Como são 3 vetores independentes em \Re^{3}, eles formam uma base de V.
Portanto uma base de V contendo u_{1} e u_{2} é
\{\,u_{1},\;u_{2},\;(0,0,1)\,\}.
Observação amigável: qualquer vetor fora do plano gerado por u_{1} e u_{2} serviria; (0,0,1) foi só uma escolha simples.]

Resposta

(a) S=\left[u_{1},u_{2}\right] e \dim S=2. Portanto S\neq V.\n
(b) Uma base de V que contém u_{1} e u_{2} é \{\,u_{1},u_{2},(0,0,1)\,\}.

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