Considerando U(x, y, z)=x^2 y z^3 e G(x, y, z)=x z i-y^2 i+2 x^2 y k, determine:
nabla^2 U

Passo 1

O enunciado nos dá a função escalar
U(x,y,z)=x^2y,z^3
e pede o Laplaciano de U, definido como
nabla^2U=partial^2Upartial x^2+partial^2Upartial y^2+partial^2Upartial z^2
Para resolver, vamos calcular cada derivada parcial segunda de U.

Passo 2

Calculando as derivadas em relação a x:
partial Upartial x =partialpartial xl(x^2y,z^3r) =2x,y,z^3,
partial^2Upartial x^2 =partialpartial xl(2x,y,z^3r) =2,y,z^3

Passo 3

Calculando as derivadas em relação a y:
partial Upartial y =partialpartial yl(x^2y,z^3r) =x^2,z^3,
partial^2Upartial y^2 =partialpartial yl(x^2,z^3r) =0
pois x^2z^3 é independente de y.

Passo 4

Calculando as derivadas em relação a z:
partial Upartial z =partialpartial zl(x^2y,z^3r) =3x^2y,z^2,
partial^2Upartial z^2 =partialpartial zl(3x^2y,z^2r) =6x^2y,z

Passo 5

Somando as derivadas segundas para obter o Laplaciano:
nabla^2U =partial^2Upartial x^2 +partial^2Upartial y^2 +partial^2Upartial z^2 =2,y,z^3+0+6x^2y,z =2y,z^3+6x^2y,z

Resposta

nabla^2U(x,y,z)=2y,z^3+6x^2y,z

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