Sendo r=x i+y j+z k, mostre que:
nabla(1r^3)=-3 rr^5

Passo 1

O enunciado pede para calcular o gradiente da função escalar
f(x,y,z)=1r^3,
onde vec r = xhatimath + yhatjmath + zhat k e r = |vec r| = raizx^2+y^2+z^2.
O conteúdo usado aqui é o operador gradiente em coordenadas cartesianas e a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Escrevemos
f(x,y,z) = (x^2+y^2+z^2)^-tfrac32
Sabendo que
nabla f = partial fpartial x,hatimath + partial fpartial y,hatjmath + partial fpartial z,hat k,
vamos usar a regra da cadeia para cada derivada parcial.

Passo 3

Para partial f/partial x, temos
partial fpartial x = -32,(x^2+y^2+z^2)^-tfrac52cdot 2x = -3,x(x^2+y^2+z^2)^tfrac52 = -3,xr^5
Analogamente,
partial fpartial y = -3,yr^5, partial fpartial z = -3,zr^5

Passo 4

Juntando as componentes no vetor gradiente,
nablal(r^-3r) = -3,xr^5,hatimath -3,yr^5,hatjmath -3,zr^5,hat k = -3,xhatimath + yhatjmath + zhat kr^5 = -3,vec rr^5

Resposta

nablal(1r^3r) = -3,vec rr^5

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