Considere os vetores de :
$
v_{1}=1+t \quad v_{2}=1-t+t^{2} \quad v_{3}=1-t^{2}$
Escreva as seguintes combinações lineares:

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial P2(R) e polinômios e1=1, e2=t, e3=t^2. Além disso, temos
v1=1+t, v2=1-t+t^2, v3=1-t^2.
Precisamos calcular a combinação linear -v1+v2-v3.

Passo 2

Expressamos cada vi em função da base e1,e2,e3:
v1 = 1 + t = 1cdote1 + 1cdote2 + 0cdote3,
v2 = 1 - t + t^2 = 1cdote1 - 1cdote2 + 1cdote3,
v3 = 1 - t^2 = 1cdote1 + 0cdote2 - 1cdote3

Passo 3

Aplicamos a combinação -v1 + v2 - v3:
-v1 = -1cdote1 - 1cdote2 + 0cdote3, +v2 = 1cdote1 - 1cdote2 + 1cdote3, -v3 = -1cdote1 + 0cdote2 + 1cdote3
Somando termo a termo:
(-1 + 1 - 1),e1 + (-1 - 1 + 0),e2 + (0 + 1 + 1),e3

Passo 4

Calculamos cada coeficiente:
-1 + 1 - 1 = -1, -1 - 1 + 0 = -2, 0 + 1 + 1 = 2
Logo a combinação resulta em
-1,e1 - 2,e2 + 2,e3,
ou seja, o polinômio
-1 - 2t + 2t^2

Resposta

-1 - 2t + 2t^2

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