Considere os vetores \vec{A}=(a, a, 0) e \vec{B}=(a,-a, b).
Determine: a) \vec{A} \cdot \vec{B} b) Qual a condição entre a e b para que os vetores sejam paralelos e c) para que sejam perpendiculares?
Passo 1
O enunciado dá dois vetores e pede três coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
Dados:
\vec{A}=(a,a,0).
\vec{B}=(a,-a,b).
Perguntas:
(a) Calcular \vec{A}\cdot\vec{B}.
(b) Determinar a condição entre a e b para que \vec{A} e \vec{B} sejam paralelos.
(c) Determinar a condição entre a e b para que \vec{A} e \vec{B} sejam perpendiculares.
Passo 2
Vou lembrar e explicar a fórmula do produto escalar (dot product) em coordenadas — isso é algo que cai direto na prova.
Definição / fórmula (explicação):
Se \vec{U}=(U_x,U_y,U_z) e \vec{V}=(V_x,V_y,V_z), então o produto escalar é
\vec{U}\cdot\vec{V}=U_xV_x+U_yV_y+U_zV_z.
Cada termo é simplesmente o produto das componentes correspondentes; depois soma-se tudo. O resultado é um número (um escalar). Se o produto escalar for zero e ambos os vetores forem não nulos, os vetores são perpendiculares — isso vem da definição geométrica do produto escalar, mas aqui basta usar a propriedade algébrica.
Aplicando isso aos vetores do enunciado:
As componentes são \vec{A}=(A_x,A_y,A_z)=(a,a,0) e \vec{B}=(B_x,B_y,B_z)=(a,-a,b).
Então
\vec{A}\cdot\vec{B}=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z.
Passo 3
Calcular passo a passo o produto escalar com as componentes:
\vec{A}\cdot\vec{B}=a\cdot a + a\cdot(-a) + 0\cdot b.
Portanto o produto escalar é zero, independentemente dos valores de a e b.
Passo 4
Interpretação do resultado do produto escalar em relação à perpendicularidade (explicação didática):
Regra prática: se \vec{U}\cdot\vec{V}=0 e ao menos um dos vetores é não nulo, então \vec{U} é perpendicular a \vec{V} (ou diz-se que são ortogonais).
Observação sobre o vetor zero: o vetor nulo (todos componentes zero) tem produto escalar zero com qualquer vetor; costuma-se aceitar que o vetor nulo é ortogonal a todos os vetores por convenção algébrica. Se preferir a versão estrita (“perpendiculares” referindo-se apenas a vetores não nulos), então é preciso exigir que ambos sejam não nulos.
No nosso caso, como \vec{A}\cdot\vec{B}=0 para quaisquer a,b, concluímos que:
Se pelo menos um dos vetores for não nulo, eles são ortogonais.
Se ambos forem nulos (caso a=0 e b=0), o produto escalar também é zero — caso degenerado.
Passo 5
Agora trato a condição de paralelismo (explicação e cálculo passo a passo).
Definição prática de vetores paralelos:
Dois vetores são paralelos se um é múltiplo escalar do outro, isto é, existe um escalar [k) tal que \vec{B}=k\vec{A} (ou equivalentemente \vec{A}=k\vec{B}). Essa é a maneira algébrica mais direta de testar paralelismo nas provas.
Escrevendo a condição \vec{B}=k\vec{A} componente a componente:
(a,-a,b)=k(a,a,0).
Isto gera o sistema de equações
\begin{cases} a = k a,\\[4pt] - a = k a,\\[4pt] b = k\cdot 0. \end{cases}
Analiso cada equação:
Da terceira equação vem b = 0\] (porque \(k\cdot 0=0). Então, se existir um k com \vec{B}=k\vec{A}, obrigatoriamente b=0.
Das duas primeiras equações: a = k a e -a = k a. Se a\neq 0, da primeira obtém-se k=1 e da segunda k=-1. Não é possível ter k=1 e k=-1 ao mesmo tempo, logo para a\neq 0 não existe k que satisfaça ambas as equações — ou seja, não são paralelos quando a\neq 0.
Se a=0, então \vec{A}=(0,0,0) (vetor nulo). Nesse caso a primeira e segunda equações ficam 0=0 e 0=0 (satisfeitas para qualquer k), e a terceira exige b=0 para que \vec{B}=k\vec{A} (pois \vec{B} também teria de ser nulo para ser igual a k\vec{A}=(0,0,0)). Porém, se a definição usada for simplesmente “um vetor é múltiplo escalar do outro” numa direção só (\vec{A}=k\vec{B} em vez de \vec{B}=k\vec{A}), note que \vec{A}=0 sempre satisfaz \vec{A}=0\cdot\vec{B}, então o vetor nulo é considerado múltiplo escalar de qualquer vetor e, por isso, paralelo a qualquer vetor sob essa convenção.
Para não confundir, resumo as duas interpretações comuns que podem aparecer numa prova:
Interpretação algébrica simétrica (existe k tal que \vec{B}=k\vec{A} ou \vec{A}=k\vec{B}): a única forma não degenerada para que isso ocorra aqui é impossível quando a\neq 0; se a=0 então \vec{A}=0 e \vec{B} só é múltiplo de \vec{A} (no sentido \vec{B}=k\vec{A}) se também b=0 (ambos nulos).
Interpretação habitual em muitos exercícios (o vetor nulo é considerado paralelo a qualquer vetor): se a=0 então \vec{A}=0 e, por essa convenção, \vec{A} é paralelo a todo \vec{B} (qualquer b).]
Passo 6
Colocando tudo de forma clara para a prova — sequência prática que serve como resposta curta:
(a) Calcular produto escalar usando componentes e somando os produtos correspondentes; o cálculo deu \vec{A}\cdot\vec{B}=0.
(b) Para paralelismo, exigir que exista k com \vec{B}=k\vec{A}. Isso leva a inconsistência quando a\neq 0, portanto não é possível para a\neq 0. Se a=0 então \vec{A}=0 e, dependendo da convenção:
sob a convenção padrão de provas (vetor nulo é paralelo a qualquer vetor), basta a=0 (qualquer b);
sob a definição “exista k tal que \vec{B}=k\vec{A}”, é preciso a=0 e b=0 (ambos vetores nulos) para ter \vec{B}=k\vec{A}.
(c) Como o produto escalar é zero para quaisquer a,b, eles são perpendiculares (ortogonais) para todos os a e b — novamente, com a observação de que o caso degenerado em que um ou ambos são o vetor nulo é tratado por convenção (o vetor nulo tem produto escalar zero com qualquer vetor e é, por isso, ortogonal a todos por definição algébrica).
Resposta
(a) \vec{A}\cdot\vec{B}=0
(b) Para vetores não nulos: não existe b que torne \vec{A} e \vec{B} paralelos quando a\neq 0.
Se a=0 (isto é, \vec{A}=0), então:
pela convenção habitual (vetor nulo paralelo a qualquer vetor): a=0 é suficiente (qualquer b);
se exigir \vec{B}=k\vec{A} com k finito, é necessário a=0 e b=0 (ambos nulos).
(c) \vec{A} e \vec{B} são perpendiculares para todos os valores de a e b (pois \vec{A}\cdot\vec{B}=0).