Dado o campo
, trace
em grade
centrada na origem
,
. Qual a forma geral?
Dica: São
pontos no plano
. Tem-se que
e a magnitude:
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá:
- Pede para traçar o campo vetorial
numa grade centrada na origem com , . Ou seja, calcular o vetor em cada um dos pontos do plano e indicar direção e magnitude (para desenhar as setas). - Pergunta também qual é a forma geral do campo (uma expressão que valha para qualquer ponto
).
Informações fornecidas (pego do enunciado):
- Componente
: . - Componente
: . - Magnitude:
.
Passo 2
Conceitos básicos e como proceder (mini-aula):
- Um campo vetorial em duas dimensões é uma função que associa a cada ponto
um vetor . - Aqui as componentes são simples funções de
e : e . Para obter o vetor em um ponto basta substituir as coordenadas na expressão. - A magnitude (comprimento) do vetor num ponto é
- A direção do vetor pode ser dada pelo ângulo
que ele forma com o eixo , obtido por
- Para esboçar as setas na grade: em cada ponto desenha-se uma seta orientada segundo
e com comprimento proporcional a . No ponto onde (a origem) o vetor é nulo.
Passo 3
Cálculo explícito em cada um dos
pontos da grade (substituir
):
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Observações de desenho práticas:
- No eixo
(quando ) as setas são horizontais, apontando para se e para se . - No eixo
(quando ) as setas são verticais, apontando para (ou seja, para baixo se e para cima se ). - No quadrante superior direito (
) as setas têm componente positiva em e negativa em (apontam para baixo-direita). - A origem tem vetor nulo.
Passo 4
Expressões úteis e forma alternativa (muito prática na hora da prova):
- Forma componente (já dada, mas escrita como função):
- Forma em termos de magnitude e direção (quando
):
onde a unidade de direção é
- Forma em coordenadas polares (
):
Essas formas ajudam a ver comportamento radial/ângular do campo: o comprimento cresce linearmente com a distância
e a direção depende do sinal relativo de
e
.
Resposta
Valores nos 9 pontos (ordem por linhas:
e em cada linha
):
Forma geral: