Dado o campo \vec{A}=x \vec{a}_{x}-y \vec{a}_{y}, trace \vec{A} em grade 3 \times 3 centrada na origem x, y \in\{-1,0,1\}, z=0. Qual a forma geral?
Dica: São 3 \times 3=9 pontos no plano x y. Tem-se que A_{x}=x, A_{y}=-y e a magnitude: \sqrt{A_{x}^{2}+A_{y}^{2}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá:
  • Pede para traçar o campo vetorial \vec{A} numa grade 3\times3 centrada na origem com x,y\in\{-1,0,1\}, z=0. Ou seja, calcular o vetor \vec{A} em cada um dos 9 pontos do plano xy e indicar direção e magnitude (para desenhar as setas).
  • Pergunta também qual é a forma geral do campo (uma expressão que valha para qualquer ponto (x,y)).
Informações fornecidas (pego do enunciado):
  • Componente x: A_x = x.
  • Componente y: A_y = -y.
  • Magnitude: \sqrt{A_x^{2}+A_y^{2}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 2

Conceitos básicos e como proceder (mini-aula):
  • Um campo vetorial em duas dimensões é uma função que associa a cada ponto (x,y) um vetor \vec{A}(x,y)=A_x(x,y)\,\vec{a}_x + A_y(x,y)\,\vec{a}_y.
  • Aqui as componentes são simples funções de x e y: A_x(x,y)=x e A_y(x,y)=-y. Para obter o vetor em um ponto basta substituir as coordenadas na expressão.
  • A magnitude (comprimento) do vetor num ponto é
\|\vec{A}\|=\sqrt{A_x^{2}+A_y^{2}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • A direção do vetor pode ser dada pelo ângulo \varphi que ele forma com o eixo x, obtido por
\varphi=\operatorname{atan2}(A_y,A_x)=\operatorname{atan2}(-y,x).
  • Para esboçar as setas na grade: em cada ponto desenha-se uma seta orientada segundo (A_x,A_y) e com comprimento proporcional a \sqrt{x^2+y^2}. No ponto onde \sqrt{x^2+y^2}=0 (a origem) o vetor é nulo.

Passo 3

Cálculo explícito em cada um dos 9 pontos da grade (substituir x,y\in\{-1,0,1\}):
  • Para (x,y)=(-1,1):
\vec{A}(-1,1)=(-1)\,\vec{a}_x - 1\,\vec{a}_y = -\vec{a}_x - \vec{a}_y, \qquad \|\vec{A}\|=\sqrt{(-1)^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}.
  • Para (x,y)=(0,1):
\vec{A}(0,1)=0\cdot\vec{a}_x - 1\cdot\vec{a}_y = -\vec{a}_y, \qquad \|\vec{A}\|=\sqrt{0^{2}+1^{2}}=1.
  • Para (x,y)=(1,1):
\vec{A}(1,1)=1\cdot\vec{a}_x - 1\cdot\vec{a}_y = \vec{a}_x - \vec{a}_y, \qquad \|\vec{A}\|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}.
  • Para (x,y)=(-1,0):
\vec{A}(-1,0)=(-1)\,\vec{a}_x - 0\cdot\vec{a}_y = -\vec{a}_x, \qquad \|\vec{A}\|=\sqrt{1+0}=1.
  • Para (x,y)=(0,0):
\vec{A}(0,0)=0\cdot\vec{a}_x - 0\cdot\vec{a}_y = \vec{0}, \qquad \|\vec{A}\|=0.
  • Para (x,y)=(1,0):
\vec{A}(1,0)=\vec{a}_x, \qquad \|\vec{A}\|=1.
  • Para (x,y)=(-1,-1):
\vec{A}(-1,-1)=(-1)\,\vec{a}_x -(-1)\,\vec{a}_y = -\vec{a}_x + \vec{a}_y, \qquad \|\vec{A}\|=\sqrt{2}.
  • Para (x,y)=(0,-1):
\vec{A}(0,-1)=0\cdot\vec{a}_x -(-1)\,\vec{a}_y = \vec{a}_y, \qquad \|\vec{A}\|=1.
  • Para (x,y)=(1,-1):
\vec{A}(1,-1)=1\cdot\vec{a}_x -(-1)\,\vec{a}_y = \vec{a}_x + \vec{a}_y, \qquad \|\vec{A}\|=\sqrt{2}.
Observações de desenho práticas:
  • No eixo x (quando y=0) as setas são horizontais, apontando para +x se x>0 e para -x se x<0.
  • No eixo y (quando x=0) as setas são verticais, apontando para -y (ou seja, para baixo se y>0 e para cima se y<0).
  • No quadrante superior direito ( x>0,y>0) as setas têm componente positiva em x e negativa em y (apontam para baixo-direita).
  • A origem tem vetor nulo.

Passo 4

Expressões úteis e forma alternativa (muito prática na hora da prova):
  • Forma componente (já dada, mas escrita como função):
\vec{A}(x,y)=x\,\vec{a}_x - y\,\vec{a}_y.
  • Forma em termos de magnitude e direção (quando (x,y)\neq(0,0)):
\vec{A}(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\;\hat{u},
onde a unidade de direção é
\hat{u}=\frac{x\,\vec{a}_x - y\,\vec{a}_y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
  • Forma em coordenadas polares ( x=r\cos\theta,\\ y=r\sin\theta):
\vec{A}(r,\theta)=r\big(\cos\theta\,\vec{a}_x - \sin\theta\,\vec{a}_y\big).
Essas formas ajudam a ver comportamento radial/ângular do campo: o comprimento cresce linearmente com a distância r e a direção depende do sinal relativo de x e y.

Resposta

Valores nos 9 pontos (ordem por linhas: y=1,0,-1 e em cada linha x=-1,0,1):
\begin{aligned} (-1,1):&\quad \vec{A}=-\vec{a}_x-\vec{a}_y,\quad \|\vec{A}\|=\sqrt{2},\\\ (0,1):&\quad \vec{A}=-\vec{a}_y,\quad \|\vec{A}\|=1,\\\ (1,1):&\quad \vec{A}=\vec{a}_x-\vec{a}_y,\quad \|\vec{A}\|=\sqrt{2};\\[4pt] (-1,0):&\quad \vec{A}=-\vec{a}_x,\quad \|\vec{A}\|=1,\\\ (0,0):&\quad \vec{A}=\vec{0},\quad \|\vec{A}\|=0,\\\ (1,0):&\quad \vec{A}=\vec{a}_x,\quad \|\vec{A}\|=1;\\[4pt] (-1,-1):&\quad \vec{A}=-\vec{a}_x+\vec{a}_y,\quad \|\vec{A}\|=\sqrt{2},\\\ (0,-1):&\quad \vec{A}=\vec{a}_y,\quad \|\vec{A}\|=1,\\\ (1,-1):&\quad \vec{A}=\vec{a}_x+\vec{a}_y,\quad \|\vec{A}\|=\sqrt{2}. \end{aligned}
Forma geral:
\vec{A}(x,y)=x\,\vec{a}_x - y\,\vec{a}_y.]

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