Dado o campo vetorial \left.\vec{A}=y \vec{a}_{x}+z \vec{a}_{y}+x \vec{a}_{z}\right) Calcule \vec{A} e |\vec{A}| em (1,1,1).

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial \vec{A}=y\vec{a}_x+z\vec{a}_y+x\vec{a}_z e pede duas coisas avaliadas no ponto (1,1,1):
  • Calcular \vec{A} em (1,1,1).
  • Calcular |\vec{A}| em (1,1,1).
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão de \vec{A} em coordenadas cartesianas: \vec{A}(x,y,z)=y\vec{a}_x+z\vec{a}_y+x\vec{a}_z.
  • O ponto onde avaliar é (x,y,z)=(1,1,1).

Passo 2

Entendendo o que significa avaliar um campo vetorial num ponto: o campo vetorial dá as componentes A_x,A_y,A_z em função de x,y,z. Para obter \vec{A} em (1,1,1) basta substituir x=1, y=1, z=1 nas expressões das componentes.
Explicando as notações (sem pressa):
  • \vec{a}_x,\vec{a}_y,\vec{a}_z são os vetores unitários das direções x,y,z. “Unitário” significa comprimento 1.
  • A componente A_x é o coeficiente que multiplica \vec{a}_x, etc.
  • Então \vec{A}(x,y,z) = A_x(x,y,z)\,\vec{a}_x + A_y(x,y,z)\,\vec{a}_y + A_z(x,y,z)\,\vec{a}_z.

Passo 3

Identificar as componentes do campo dado:
  • A_x(x,y,z)=y.
  • A_y(x,y,z)=z.
  • A_z(x,y,z)=x.
Agora substituir x=1, y=1, z=1:
A_x(1,1,1)=1,\qquad A_y(1,1,1)=1,\qquad A_z(1,1,1)=1.

Passo 4

Escrever o vetor resultante com as componentes encontradas:
\vec{A}(1,1,1)=1\cdot\vec{a}_x+1\cdot\vec{a}_y+1\cdot\vec{a}_z=\vec{a}_x+\vec{a}_y+\vec{a}_z.

Passo 5

Agora calcular o módulo (norma) de um vetor em coordenadas cartesianas. Regra geral: para \vec{v}=v_x\vec{a}_x+v_y\vec{a}_y+v_z\vec{a}_z,
|\vec{v}|=\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}+v_z^{2}}.
Breve justificativa: deriva-se do teorema de Pitágoras aplicado sucessivamente nas direções ortogonais x,y,z; como \vec{a}_x,\vec{a}_y,\vec{a}_z são ortogonais e unitários, a soma dos quadrados das componentes dá o quadrado do comprimento.

Passo 6

Aplicar a fórmula ao vetor \vec{A}(1,1,1) cujas componentes são 1,1,1:
|\vec{A}(1,1,1)|=\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}.
Se quiser um valor aproximado para checar: \sqrt{3}\approx1{,}732.

Resposta

\vec{A}(1,1,1)=\vec{a}_x+\vec{a}_y+\vec{a}_z
|\vec{A}(1,1,1)|=\sqrt{3}

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