Seja S um referencial inercial, e seja S^{\prime} um referencial não-inercial, com mesma origem que S, e que gira com velocidade angular \vec{\omega} em relação a S. Suponha que \vec{\omega} possa ser variável, isto é, uma função do tempo.
Sejam \hat{i}, \hat{j}, \hat{k} os eixos cartesianos do referencial inercial S e \hat{i}^{\prime}, \hat{j}^{\prime}, \hat{k}^{\prime} os eixos cartesianos do referencial girante S^{\prime}.
a) Seja \vec{B} um vetor que é constante quando visto do referencial S^{\prime} (suas componentes em relação aos eixos cartesians de S^{\prime} são constantes). Obtenha, no referencial S (cujos eixos cartesianos estão fixos), a forma vetorial da variação temporal de \vec{B}. Justifique cada passagem. DICA: Suponha \vec{\omega}=\omega \hat{k} para poder desenhar o que está acontecendo.
b) Seja agora um vetor \vec{A}(t) que varia no tempo no referencial S^{\prime} (suas componentes nos eixos cartesianos de S^{\prime} agora variam no tempo). Obtenha a expressão para \frac{d \vec{A}}{d t}, a derivada temporal do vetor \vec{A} quando vista do referencial inercial S, em termos da derivada temporal de \vec{A} quando vista do referencial girante S^{\prime}.
c) Considere agora uma partícula de massa m se movendo no espaço. Seja \vec{r}(t) seu vetor posição escrito no referencial S e \vec{r}^{\prime}(t) seu vetor posição escrito no referencial S^{\prime}. Obtenha a relação entre as velocidades \dot{\vec{r}} medida no referencial S e \dot{\vec{r}}^{\prime} medida no referencial S^{\prime}. Obtenha também a relação entre as acelerações \ddot{\vec{r}} medida no referencial S e \ddot{\vec{r}}^{\prime} medida no referencial S^{\prime}.
d) Se uma força física \vec{F} age sobre a partícula de massa m, temos que a segunda lei de Newton é satisfeita no referencial inercial S. Obtenha, em termos apenas da posição e velocidade da partícula medidas em S^{\prime} e dos dados do problema, a expressão para a aceleração da partícula medida por S^{\prime} e identifique (com os nomes corretos) cada um dos termos de forças inerciais que aparecem no referencial girante.
e) Considere agora o movimento de rotação da Terra (esférica), com velocidade \omega apontando na direção do polo Norte. Seja \vec{g} o campo gravitacional da Terra em sua superfície. Baseado nos itens anteriores, qual é o “vetor campo gravitacional efetivo” medido por um observador parado na superfície da Terra? Justifique e faça um esboço envolvendo esses campos e as grandezas relevantes para o cálculo.

Passo 1

O enunciado dá um referencial inercial S e um referencial girante S' que têm a mesma origem e giram um em relação ao outro com velocidade angular \vec{\omega}(t) (pode depender do tempo). Os eixos de S são \hat{i},\hat{j},\hat{k} e os de S' são \hat{i}',\hat{j}',\hat{k}'. As perguntas são:
(a) Dado um vetor \vec{B} cujas componentes em S' são constantes (isto é, \vec{B} é “fixo” no referencial girante), encontrar a derivada temporal \dfrac{d\vec{B}}{dt} observada em S (o referencial fixo).
(b) Para um vetor \vec{A}(t) cujas componentes em S' variam com o tempo, obter a expressão de \dfrac{d\vec{A}}{dt} medida em S em função da derivada medida em S' e de \vec{\omega}.
(c) Para a posição \vec{r} de uma partícula (origens coincidentes), obter a relação entre velocidades \dot{\vec{r}} em S e \dot{\vec{r}}^{\prime} em S', e entre acelerações \ddot{\vec{r}} e \ddot{\vec{r}}^{\prime}.
(d) Se uma força física \vec{F} age sobre a partícula, escreva a equação da dinâmica no referencial girante S' (isto é, expressão para \ddot{\vec r}^{\prime} em termos de quantidades medidas em S' e identifique as forças inerciais que aparecem, dando seus nomes e fórmulas).
(e) Aplicando isso à Terra (rotação com \vec{\omega} apontando ao polo Norte), dado o campo gravitacional \vec{g} na superfície, qual é o campo gravitacional efetivo medido por um observador parado na superfície? Fazer justificativa e esboço das quantidades relevantes.
Informações importantes dadas:
  • \vec{\omega}=\vec{\omega}(t) pode variar no tempo.
  • Os dois referenciais têm a mesma origem (logo \vec{r} é o mesmo vetor geométrico, só representado em bases diferentes).
  • Em (a) as componentes de \vec{B} em S' são constantes; em (b) as componentes de \vec{A} em S' variam no tempo.
A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Conceito-chave usado (aula rápida e intuitiva): um vetor \vec{V} pode ser escrito na base girante como
\vec{V} = V_x' \,\hat{i}' + V_y' \,\hat{j}' + V_z' \,\hat{k}'.
Se diferenciarmos \vec{V} com respeito ao tempo em S, devemos derivar tanto as componentes V_i' quanto os vetores de base \hat{i}',\hat{j}',\hat{k}' (porque a base gira). A regra do produto dá
\frac{d\vec V}{dt}\Big|_{S} = \sum_{i} \frac{dV_i'}{dt}\Big|_{S}\,\hat{e}_i' + \sum_{i} V_i'\,\frac{d\hat{e}_i'}{dt}\Big|_{S},
onde \hat{e}_i'\in\{\hat{i}',\hat{j}',\hat{k}'\}. Aqui \frac{dV_i'}{dt}\big|_{S} é a derivada das componentes vistas no referencial inercial — mas se as componentes forem medidas no referencial girante vamos usar a notação \dfrac{d}{dt}\big|_{S'} para a derivada das componentes com o referencial girante (mais na frente faremos isso preciso).
Primeiro precisamos de uma expressão para a derivada temporal, vista em S, de um vetor de base girante \hat{e}'. Física-geometria simples (e muito usada): se um vetor unitário \hat{u} gira com velocidade angular \vec{\omega}, a variação infinitesimal quando o sistema roda por um ângulo \delta\vec{\theta}=\vec{\omega}\,dt é
\hat{u}(t+dt)\approx \hat{u}(t) + \delta\vec{\theta}\times \hat{u}(t) = \hat{u}(t) + (\vec{\omega}\,dt)\times\hat{u}(t).
Dividindo por dt e tomando limite, obtemos a identidade fundamental
\frac{d\hat{u}}{dt}\Big|_{S} = \vec{\omega}\times \hat{u}.
Isso vale para cada vetor de base girante: \dfrac{d\hat{i}'}{dt}\big|_{S}=\vec{\omega}\times\hat{i}', idem para \hat{j}',\hat{k}'. Essa identidade é geométrica e permanece válida mesmo se \vec{\omega} variar com o tempo (então \vec{\omega}=\vec{\omega}(t) aparece na fórmula).

Passo 3

Resolvendo (a): suponha que as componentes de \vec{B} em S' sejam constantes, isto é \dfrac{dB_x'}{dt}\big|_{S'}=\dfrac{dB_y'}{dt}\big|_{S'}=\dfrac{dB_z'}{dt}\big|_{S'}=0. Escrevendo \vec{B}=B_x'\hat{i}'+B_y'\hat{j}'+B_z'\hat{k}' e diferenciando em S usando a regra do produto e a identidade para \dfrac{d\hat{e}'}{dt}:
\frac{d\vec{B}}{dt}\Big|_{S} = B_x'\frac{d\hat{i}'}{dt}\Big|_{S} + B_y'\frac{d\hat{j}'}{dt}\Big|_{S} + B_z'\frac{d\hat{k}'}{dt}\Big|_{S}.
Aplicando \dfrac{d\hat{e}'}{dt}\big|_{S}=\vec{\omega}\times\hat{e}' em cada termo:
\frac{d\vec{B}}{dt}\Big|_{S} = B_x'(\vec{\omega}\times\hat{i}') + B_y'(\vec{\omega}\times\hat{j}') + B_z'(\vec{\omega}\times\hat{k}').
Fatorando \vec{\omega}\times obtemos
\frac{d\vec{B}}{dt}\Big|_{S} = \vec{\omega}\times\big( B_x'\hat{i}'+B_y'\hat{j}'+B_z'\hat{k}'\big) = \vec{\omega}\times\vec{B}.
Portanto, quando \vec{B} é constante no referencial girante S', sua taxa de variação vista do referencial inercial S é
\boxed{\frac{d\vec{B}}{dt}\Big|_{S} = \vec{\omega}\times\vec{B}.}
Observação didática: a razão é que, mesmo que as componentes em S' não mudem, a própria base gira e “arrasta” o vetor em S; o termo \vec{\omega}\times\vec{B} é exatamente a contribuição dessa rotação.

Passo 4

Resolvendo (b): agora as componentes A_i'(t) variam no tempo no referencial girante. Escrevemos \vec{A} = A_x'\hat{i}'+A_y'\hat{j}'+A_z'\hat{k}'. Diferenciando em S e usando a regra do produto:
\frac{d\vec{A}}{dt}\Big|_{S} = \sum_{i} \frac{dA_i'}{dt}\Big|_{S}\,\hat{e}_i' + \sum_{i} A_i'\,\frac{d\hat{e}_i'}{dt}\Big|_{S}.
Definimos a derivada temporal medida no referencial girante como
\frac{d\vec{A}}{dt}\Big|_{S'} \equiv \sum_i \frac{dA_i'}{dt}\Big|_{S'}\,\hat{e}_i'.
Aqui \dfrac{dA_i'}{dt}\big|_{S'} são simplesmente as taxas de variação das componentes no referencial girante (por exemplo, medidas por alguém preso a S'). Como antes \dfrac{d\hat{e}_i'}{dt}\big|_{S}=\vec{\omega}\times\hat{e}_i'. Tomando \dfrac{dA_i'}{dt}\big|_{S}=\dfrac{dA_i'}{dt}\big|_{S'} (as componentes são funções do tempo; a derivada das componentes não depende do fato de em qual referencial escrevemos a base), obtemos:
\frac{d\vec{A}}{dt}\Big|_{S} = \frac{d\vec{A}}{dt}\Big|_{S'} + \vec{\omega}\times\vec{A}.
Portanto a fórmula geral é
\boxed{\frac{d\vec{A}}{dt}\Big|_{S}=\frac{d\vec{A}}{dt}\Big|_{S'}+\vec{\omega}\times\vec{A}.}
Interpretação didática: a taxa de variação no referencial inercial tem duas contribuições — a mudança das componentes vista pelo observador girante e a mudança due à rotação da base (o termo de produto vetorial).

Passo 5

Resolvendo (c): aplicamos a fórmula do passo anterior ao vetor posição \vec{r}. Como as origens coincidem, \vec{r} é o mesmo vetor geométrico em ambos os referenciais. Tomando \vec{A}=\vec{r} e usando \dfrac{d\vec{r}}{dt}\big|_{S'}=\dot{\vec r}^{\prime} (velocidade medida em S') e \dfrac{d\vec{r}}{dt}\big|_{S}=\dot{\vec r} (velocidade em S):
\dot{\vec r} = \dot{\vec r}^{\prime} + \vec{\omega}\times\vec r.
Isso é a relação entre velocidades: a velocidade no sistema fixo é a velocidade relativa medida no girante mais o termo de arraste \vec{\omega}\times\vec r.
Agora diferenciamos novamente para obter as acelerações. Aplicando a regra do passo 4 à velocidade \vec{v}=\dot{\vec r}:
\ddot{\vec r} = \frac{d}{dt}\Big|_{S}\dot{\vec r} = \frac{d}{dt}\Big|_{S'}\dot{\vec r} + \vec{\omega}\times\dot{\vec r}.
Mas \dot{\vec r} = \dot{\vec r}^{\prime} + \vec{\omega}\times\vec r. Substituímos:
\ddot{\vec r} = \frac{d}{dt}\Big|_{S'}\big(\dot{\vec r}^{\prime} + \vec{\omega}\times\vec r\big) + \vec{\omega}\times\big(\dot{\vec r}^{\prime} + \vec{\omega}\times\vec r\big).
Expandimos os termos cuidadosamente (usar regra da derivada do produto vetorial; lembre: \dfrac{d}{dt}\big|_{S'}(\vec{\omega}\times\vec r)=\dfrac{d\vec{\omega}}{dt}\Big|_{S'}\times\vec r+\vec{\omega}\times\dfrac{d\vec r}{dt}\Big|_{S'}):
\ddot{\vec r} = \ddot{\vec r}^{\prime} + \frac{d\vec{\omega}}{dt}\Big|_{S'}\times\vec r + \vec{\omega}\times\dot{\vec r}^{\prime} + \vec{\omega}\times\dot{\vec r}^{\prime} + \vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec r).
Agrupando os termos iguais \vec{\omega}\times\dot{\vec r}^{\prime}:
\ddot{\vec r} = \ddot{\vec r}^{\prime} + 2\,\vec{\omega}\times\dot{\vec r}^{\prime} + \frac{d\vec{\omega}}{dt}\Big|_{S'}\times\vec r + \vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec r).
Como \dfrac{d\vec{\omega}}{dt}\big|_{S'} é a mesma quantidade que \dot{\vec{\omega}} (derivada temporal do vetor \vec{\omega}; não há termo extra, porque \vec{\omega}\times\vec{\omega}=\vec{0}), podemos escrever mais compactamente:
\boxed{\ddot{\vec r} = \ddot{\vec r}^{\prime} + 2\,\vec{\omega}\times\dot{\vec r}^{\prime} + \dot{\vec{\omega}}\times\vec r + \vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec r).}
Significado rápido dos termos:
  • \ddot{\vec r} é a aceleração em S.
  • \ddot{\vec r}^{\prime} é a aceleração medida em S'.
  • 2\,\vec{\omega}\times\dot{\vec r}^{\prime} será o termo de Coriolis (surge pela combinação de rotação da base com a velocidade relativa).
  • \dot{\vec{\omega}}\times\vec r é o termo de Euler (aparece se a velocidade angular muda no tempo).
  • \vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec r) é o termo centrífugo (associado à rotação).

Passo 6

Resolvendo (d): na base inercial S vale a segunda lei de Newton usual:
m\,\ddot{\vec r} = \vec{F},
onde \vec{F} é a força física real (gravidade, contato, etc.). Substituímos a expressão de \ddot{\vec r} obtida no passo anterior:
m\Big(\ddot{\vec r}^{\prime} + 2\,\vec{\omega}\times\dot{\vec r}^{\prime} + \dot{\vec{\omega}}\times\vec r + \vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec r)\Big) = \vec{F}.
Isolando m\ddot{\vec r}^{\prime} (equação que um observador preso ao referencial girante S' usaria), obtemos
m\,\ddot{\vec r}^{\prime} = \vec{F} - m\big(2\,\vec{\omega}\times\dot{\vec r}^{\prime}\big) - m\big(\dot{\vec{\omega}}\times\vec r\big) - m\big(\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec r)\big).
É comum escrever essa equação como
m\,\ddot{\vec r}^{\prime} = \vec{F} + \vec{F}_{\rm cor} + \vec{F}_{\rm Euler} + \vec{F}_{\rm cent}
onde os “forças inerciais” (fictícias) adicionadas são:
  • Força de Coriolis:
\boxed{\vec{F}_{\rm cor} = -2m\,\vec{\omega}\times\dot{\vec r}^{\prime}}
(observador em S' sente uma força proporcional à velocidade relativa \dot{\vec r}^{\prime}, perpendicular ao movimento; é responsável, por exemplo, pelo desvio de ventos).
  • Força de Euler (quando \vec{\omega} varia no tempo):
\boxed{\vec{F}_{\rm Euler} = -m\,\dot{\vec{\omega}}\times\vec r}
(tem direção perpendicular a \dot{\vec{\omega}} e a \vec r).
  • Força centrífuga:
\boxed{\vec{F}_{\rm cent} = -m\,\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec r).}
(esta força aponta ‘‘para fora do eixo de rotação’’ e é responsável pela tendência de uma massa escapar para fora).
Explicação de sinais e uso prático: para aplicar a segunda lei em S' é preciso somar as forças reais \vec{F} e as forças inerciais acima; o somatório dividido por m iguala \ddot{\vec r}^{\prime}. As fórmulas têm sinais negativos porque as forças inerciais surgem quando passamos de um referencial inercial para um não-inercial.

Passo 7

Resolvendo (e) — gravidade efetiva na superfície da Terra.
Situação: Terra gira com velocidade angular \vec{\omega} aproximadamente constante no tempo, apontando do centro da Terra para o polo Norte. Para um observador parado na superfície (fixo em S' — ou seja, \dot{\vec r}^{\prime}=\vec{0} porque ele não se desloca em relação à superfície do planeta), e assumindo \dot{\vec{\omega}}=\vec{0}, os termos de Coriolis e Euler desaparecem. A única força inercial remanescente é a centrífuga:
\vec{F}_{\rm cent} = -m\,\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec r).
O campo gravitacional real (força por unidade de massa) é \vec{g} (aponta, localmente, para o centro da Terra). O campo efetivo que o observador sente (aceleração efetiva por unidade de massa) é a soma do campo gravitacional real e da aceleração fictícia centrífuga por unidade de massa:
\boxed{\vec{g}_{\rm eff} = \vec{g} - \vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec r).}
Comentário físico: a aceleração centrífuga \vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec r) aponta para fora do eixo de rotação (direção radial no plano equatorial) e reduz a componente radial de \vec{g}, diminuindo o peso aparente. Além disso, a centrífuga não é exatamente radial (direcionada ao centro da Terra): sua direção é afastada do eixo de rotação, o que causa um pequeno desvio do vetor \vec{g}_{\rm eff} em direção ao pólo (isto é, o vetor resultante não aponta exatamente ao centro da Terra, inclinando-se um pouco para o polo).
Agora uma decomposição prática em latitude \varphi (útil para cálculo aproximado):
  • Seja R o raio da Terra e \varphi a latitude ( \varphi=0 no equador, \varphi=90^\circ no pólo norte). A distância ao eixo de rotação é s = R\cos\varphi.
  • A aceleração centrífuga tem magnitude \omega^2 s = \omega^2 R\cos\varphi e aponta perpendicular ao eixo (para fora). A componente radial (isto é, a componente que reduz a gravidade na direção do raio) tem magnitude \omega^2 R\cos^2\varphi.
    Portanto, a magnitude aproximada do componente radial do campo efetivo é
g_{{\rm eff},\,{\rm radial}} \approx g - \omega^2 R\cos^2\varphi.
Exemplo numérico rápido (para intuição): \omega\approx 7{,}29\times10^{-5}\,\text{s}^{-1}, R\approx 6{,}37\times10^{6}\,\text{m} \omega^2 R\approx 3{,}4\times10^{-2}\,\text{m/s}^2, ou seja, uma redução máxima no equador de cerca de 0{,}034\\ \text{m/s}^2 em relação a g\approx 9{,}81\\ \text{m/s}^2.
Esboço mental das direções (desenho verbal):
  • \vec{g}: aponta aproximadamente para o centro da Terra (vertical “para baixo” local).
  • \vec{\omega}: aponta do centro ao polo Norte.
  • \vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec r): aponta para fora do eixo de rotação, sua componente radial aponta para fora (reduzindo g), sua componente tangencial faz o vetor efetivo inclinar-se levemente para o pólo.
  • Resultado: \vec{g}_{\rm eff} tem módulo um pouco menor que g e aponta ligeiramente em direção ao pólo (não exatamente para o centro).

Resposta

(a) \displaystyle \frac{d\vec{B}}{dt}\Big|_{S} = \vec{\omega}\times\vec{B}.
(b) \displaystyle \frac{d\vec{A}}{dt}\Big|_{S} = \frac{d\vec{A}}{dt}\Big|_{S'} + \vec{\omega}\times\vec{A}.
(c) \displaystyle \dot{\vec r}=\dot{\vec r}^{\prime}+\vec{\omega}\times\vec r.
\displaystyle \ddot{\vec r}=\ddot{\vec r}^{\prime}+2\,\vec{\omega}\times\dot{\vec r}^{\prime}+\dot{\vec{\omega}}\times\vec r+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec r).
(d) \displaystyle m\,\ddot{\vec r}^{\prime}=\vec{F}-2m\,\vec{\omega}\times\dot{\vec r}^{\prime}-m\,\dot{\vec{\omega}}\times\vec r-m\,\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec r).
Forças inerciais identificadas:
  • Força de Coriolis: \displaystyle \vec{F}_{\rm cor}=-2m\,\vec{\omega}\times\dot{\vec r}^{\prime}.
  • Força de Euler: \displaystyle \vec{F}_{\rm Euler}=-m\,\dot{\vec{\omega}}\times\vec r.
  • Força centrífuga: \displaystyle \vec{F}_{\rm cent}=-m\,\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec r).
(e) Campo gravitacional efetivo medido na superfície:
\displaystyle \vec{g}_{\rm eff}=\vec{g}-\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec r).
Em magnitude radial aproximada: \displaystyle g_{{\rm eff}}\approx g-\omega^{2}R\cos^{2}\varphi (com \varphi latitude).

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