Considere os vetores \vec{a}=\langle 4,6, c\rangle e \vec{b}=\langle-12,-18,-15\rangle
Parte 1) Determine o valor de \boldsymbol{c} para que os vetores \overrightarrow{\boldsymbol{a}} e \overrightarrow{\boldsymbol{b}} sejam paralelos.
Insira aqui o valor de c □ para paralelismo entre os vetores.
Parte 2) Determine o valor de \boldsymbol{c} para que os vetores \overrightarrow{\boldsymbol{a}} e \overrightarrow{\boldsymbol{b}} sejam ortogonais.
Insira aqui o valor de c □ para ortognalidade entre os vetores.
Parte 3) Considere o valor de \boldsymbol{c} da Parte \mathbf{2} de modo que \overrightarrow{\boldsymbol{a}} e \overrightarrow{\boldsymbol{b}} sejam ortogonais. Agora tomemos os vetores \overrightarrow{\boldsymbol{a}} e \overrightarrow{\boldsymbol{b}} como os segmentos de reta orientados com o mesmo ponto inicial, determine então a área A do triângulo induzido por estes dois vetores com mesmo ponto inicial usando compulsoriamente o produto vetorial entre os vetores (e as fórmulas associadas a áreas paralelogramas e/ou triângulos)
Área \boldsymbol{A} do triângulo = □
Passo 1
O enunciado fornece os vetores \vec{a}=\langle 4,6,c\rangle e \vec{b}=\langle -12,-18,-15\rangle e faz três perguntas separadas:
Parte 1: determinar o valor de c para que \vec{a} e \vec{b} sejam paralelos.
Parte 2: determinar o valor de c para que \vec{a} e \vec{b} sejam ortogonais.
Parte 3: usando o valor de c encontrado na Parte 2 (ou seja, os vetores ortogonais), considerar \vec{a} e \vec{b} como segmentos com o mesmo ponto inicial e determinar a área A do triângulo formado por eles, obrigatoriamente usando o produto vetorial.
As informações relevantes dadas:
componentes de \vec{a}: primeira componente 4, segunda componente 6, terceira componente c (desconhecida);
componentes de \vec{b}: -12, -18, -15.
Passo 2
Condição para paralelismo (aula rápida):
Dois vetores em \mathbb{R}^3 são paralelos se e somente se existe um escalar k tal que \vec{a}=k\vec{b} ou \vec{b}=k\vec{a}. Na prática isso significa que as componentes correspondentes estão na mesma razão.
Exemplo simples: \langle1,2\rangle e \langle2,4\rangle são paralelos porque multiplicando o primeiro por 2 obtém-se o segundo.
Aplicando ao nosso caso: suponha \vec{b}=k\vec{a}. Igualando componentes obtemos
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 3:
c=-\frac{52}{5}.
Portanto, para ortogonalidade, c=-\dfrac{52}{5}.
Passo 4
Produto vetorial e área (aula rápida):
Para \vec{u},\vec{v}\in\mathbb{R}^3, o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v} é um vetor perpendicular a ambos. Sua magnitude \|\vec{u}\times\vec{v}\| é igual à área do paralelogramo formado por \vec{u} e \vec{v}.
A área do triângulo formado pelos mesmos vetores é a metade da área do paralelogramo:
\text{Área do triângulo}=\frac{1}{2}\|\vec{u}\times\vec{v}\|.
Fórmula prática para o produto vetorial (determinante):