Considere os vetores \vec{a}=\langle 4,6, c\rangle e \vec{b}=\langle-12,-18,-15\rangle
Parte 1) Determine o valor de \boldsymbol{c} para que os vetores \overrightarrow{\boldsymbol{a}} e \overrightarrow{\boldsymbol{b}} sejam paralelos.
Insira aqui o valor de c □ para paralelismo entre os vetores.
Parte 2) Determine o valor de \boldsymbol{c} para que os vetores \overrightarrow{\boldsymbol{a}} e \overrightarrow{\boldsymbol{b}} sejam ortogonais.
Insira aqui o valor de c □ para ortognalidade entre os vetores.
Parte 3) Considere o valor de \boldsymbol{c} da Parte \mathbf{2} de modo que \overrightarrow{\boldsymbol{a}} e \overrightarrow{\boldsymbol{b}} sejam ortogonais. Agora tomemos os vetores \overrightarrow{\boldsymbol{a}} e \overrightarrow{\boldsymbol{b}} como os segmentos de reta orientados com o mesmo ponto inicial, determine então a área A do triângulo induzido por estes dois vetores com mesmo ponto inicial usando compulsoriamente o produto vetorial entre os vetores (e as fórmulas associadas a áreas paralelogramas e/ou triângulos)
Área \boldsymbol{A} do triângulo =

Passo 1

O enunciado fornece os vetores \vec{a}=\langle 4,6,c\rangle e \vec{b}=\langle -12,-18,-15\rangle e faz três perguntas separadas:
  • Parte 1: determinar o valor de c para que \vec{a} e \vec{b} sejam paralelos.
  • Parte 2: determinar o valor de c para que \vec{a} e \vec{b} sejam ortogonais.
  • Parte 3: usando o valor de c encontrado na Parte 2 (ou seja, os vetores ortogonais), considerar \vec{a} e \vec{b} como segmentos com o mesmo ponto inicial e determinar a área A do triângulo formado por eles, obrigatoriamente usando o produto vetorial.
As informações relevantes dadas:
  • componentes de \vec{a}: primeira componente 4, segunda componente 6, terceira componente c (desconhecida);
  • componentes de \vec{b}: -12, -18, -15.

Passo 2

Condição para paralelismo (aula rápida):
  • Dois vetores em \mathbb{R}^3 são paralelos se e somente se existe um escalar k tal que \vec{a}=k\vec{b} ou \vec{b}=k\vec{a}. Na prática isso significa que as componentes correspondentes estão na mesma razão.
  • Exemplo simples: \langle1,2\rangle e \langle2,4\rangle são paralelos porque multiplicando o primeiro por 2 obtém-se o segundo.
Aplicando ao nosso caso: suponha \vec{b}=k\vec{a}. Igualando componentes obtemos
-12 = k\cdot 4,\qquad -18 = k\cdot 6,\qquad -15 = k\cdot c.
Das duas primeiras equações encontramos k. Por exemplo
k=\frac{-12}{4}=-3.
Verificamos com a segunda: \frac{-18}{6}=-3, consistente. Agora use a terceira equação para achar c:
-15 = k\cdot c = (-3)\,c \quad\Rightarrow\quad c=\frac{-15}{-3}=5.
Portanto, para paralelismo, c=5.

Passo 3

Condição para ortogonalidade (aula rápida):
  • Dois vetores são ortogonais (perpendiculares) se e somente se o produto escalar (dot product) entre eles é zero.
  • Para \vec{u}=\langle u_1,u_2,u_3\rangle e \vec{v}=\langle v_1,v_2,v_3\rangle o produto escalar é
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
  • Exemplo rápido: \langle1,0\rangle\cdot\langle0,1\rangle=0, logo são ortogonais.
Aplicando ao nosso caso, impondo \vec{a}\cdot\vec{b}=0:
\vec{a}\cdot\vec{b}=4\cdot(-12)+6\cdot(-18)+c\cdot(-15)=0.
Calcule os produtos numéricos:
4\cdot(-12)=-48,\qquad 6\cdot(-18)=-108.
Somando:
-48-108-15c=0 \quad\Rightarrow\quad -156-15c=0.
Resolva para c:
-15c=156 \quad\Rightarrow\quad c=-\frac{156}{15}.
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 3:
c=-\frac{52}{5}.
Portanto, para ortogonalidade, c=-\dfrac{52}{5}.

Passo 4

Produto vetorial e área (aula rápida):
  • Para \vec{u},\vec{v}\in\mathbb{R}^3, o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v} é um vetor perpendicular a ambos. Sua magnitude \|\vec{u}\times\vec{v}\| é igual à área do paralelogramo formado por \vec{u} e \vec{v}.
  • A área do triângulo formado pelos mesmos vetores é a metade da área do paralelogramo:
\text{Área do triângulo}=\frac{1}{2}\|\vec{u}\times\vec{v}\|.Áâ
  • Fórmula prática para o produto vetorial (determinante):
\vec{u}\times\vec{v}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ u_1 & u_2 & u_3 \\\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix},
ou, em componentes,
\vec{u}\times\vec{v}=\langle u_2v_3-u_3v_2,\; -(u_1v_3-u_3v_1),\; u_1v_2-u_2v_1\rangle.
Agora aplicamos isso usando o valor de c da Parte 2, isto é c=-\dfrac{52}{5}. Então
\vec{a}=\Big\langle 4,\,6,\,-\frac{52}{5}\Big\rangle,\qquad \vec{b}=\langle -12,\,-18,\,-15\rangle.
Calcule \vec{a}\times\vec{b} componente a componente usando a fórmula:
  • componente i:
a_2 b_3 - a_3 b_2 = 6\cdot(-15) - \Big(-\frac{52}{5}\Big)\cdot(-18).
Calcule os termos:
6\cdot(-15)=-90,\qquad \Big(-\frac{52}{5}\Big)\cdot(-18)=\frac{52\cdot18}{5}=\frac{936}{5}.
Assim
\text{componente }i = -90 - \frac{936}{5} = -\frac{450}{5}-\frac{936}{5}=-\frac{1386}{5}.
  • componente j (lembre do sinal negativo da fórmula):
-(a_1 b_3 - a_3 b_1) = -\big(4\cdot(-15) - \big(-\tfrac{52}{5}\big)\cdot(-12)\big).
Calcule os termos:
4\cdot(-15)=-60,\qquad \big(-\tfrac{52}{5}\big)\cdot(-12)=\frac{624}{5}.
Então dentro do parêntese: -60 - \frac{624}{5} = -\frac{300}{5}-\frac{624}{5} = -\frac{924}{5}. Com o sinal negativo externo:
\text{componente }j = -\big(-\tfrac{924}{5}\big)=\frac{924}{5}.
  • componente k:
a_1 b_2 - a_2 b_1 = 4\cdot(-18) - 6\cdot(-12) = -72 +72 = 0.
Portanto
\vec{a}\times\vec{b}=\Big\langle -\frac{1386}{5},\;\frac{924}{5},\;0\Big\rangle.

Passo 5

Calcular a magnitude de \vec{a}\times\vec{b} e a área do triângulo:
  • Primeiro observe que ambos os componentes numéricos têm um fator comum. Notamos que 1386=462\cdot3 e 924=462\cdot2. Então
\vec{a}\times\vec{b}=\frac{462}{5}\langle -3,\,2,\,0\rangle.
  • A magnitude é
\|\vec{a}\times\vec{b}\|=\frac{462}{5}\sqrt{(-3)^2+2^2+0^2}=\frac{462}{5}\sqrt{9+4}=\frac{462}{5}\sqrt{13}.
  • A área do triângulo é metade disso:
A=\frac{1}{2}\|\vec{a}\times\vec{b}\|=\frac{1}{2}\cdot\frac{462}{5}\sqrt{13}=\frac{231}{5}\sqrt{13}.

Resposta

c=5
c=-\dfrac{52}{5}
A=\dfrac{231}{5}\sqrt{13}

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