Considere a equação polar
ATENÇÃO: Insira os valores no seguinte formato decimal por exemplo 12.3456 ou 0.0654321 e portanto escreva
- 0.0166666 para representar “5/300”
- ou 13.07976 para representar
(que pode ser obtido escrevendo (sem aspas) “2ln(10)+3pi*(9-exp(2))-3*sqrt(5)” diretamente no Google por exemplo)
A sugestão é que você use 6 ou mais dígitos significativos:
ou
Parte 1) (35%) Esboce cuidadosamente a curva polar no plano
, e determine o comprimento da curva usando a formulação para curvas polares.
O valor do comprimento da curva é □
Parte 2) (35 %)
Encontre (e demonstre precisamente) a equação cartesiana correspondente que tem a forma
e determine
e
.
Os valores das constantes na Eq. (*) são
□ ,
□ e
□ .
Parte 3)(30%) Determine a área da região delimitada por esta curva polar (utilizando a formulação da área em polares). A partir da Parte 2, indique SE este é o valor esperado para a área da região.
O valor do área delimitada pela curva é □ .
O valor do comprimento da curva é □
Os valores das constantes na Eq. (*) são
Passo 1
O enunciado dá a equação polar
e pede três coisas:
- Parte 1: esboçar a curva no plano
e determinar o comprimento da curva usando a fórmula para curvas em coordenadas polares. - Parte 2: encontrar a equação cartesiana na forma
e determinar os valores de , e . - Parte 3: determinar a área da região delimitada por esta curva usando a fórmula de área em coordenadas polares e verificar se o resultado é o esperado a partir da Parte 2.
Informações relevantes fornecidas:
- A equação polar é
. - Não há outras figuras nem números adicionais.
- Devemos usar as fórmulas polares padrão para comprimento e área (essas fórmulas serão apresentadas nos passos seguintes).
Passo 2
Converter a equação polar para coordenadas cartesianas (passo necessário para a Parte 2).
Lembrando as relações entre coordenadas:
Lembrando as relações entre coordenadas:
Substituindo
e usando
, procedemos assim:
Mas
e
. Uma maneira mais direta é multiplicar a equação polar por
:
Agora usar
e
:
Reorganizando para completar o quadrado em
:
Portanto a curva cartesiana é um círculo de centro
e raio
. Escrevendo na forma pedida
temos
,
,
. (Nos passos seguintes usaremos estes valores para checar área e para descrever o esboço.)
Passo 3
Entender como a curva é traçada por
(importante para as integrais polares). A equação polar é
. Observações sobre sinais e varredura de
:
- Para
: então . O ponto corresponde a . - Para
: então . Esse é a origem . - Para
: então . O ponto é novamente.
Assim, ao variarde até a parametrização polar fecha a curva e volta ao mesmo ponto, sem lacunas; essa varredura traça precisamente o círculo inteiro uma vez. (Se tomássemos de a a curva seria percorrida duas vezes.)
Para ver isso parametrizado explicitamente, escreva
e
como funções de
:
Para
estes parâmetros percorrem todo o círculo
uma vez.
Passo 4
Fórmula do comprimento de curva em coordenadas polares (aula rápida):
Se uma curva é dada por e
varia de
a
, o comprimento
da curva é
Se uma curva é dada por
onde
. Aqui
. Calculamos
:
Logo dentro da raiz:
A raiz é constante:
. Assim o integrando é
e o comprimento para a varredura que percorre a curva uma vez (vimos que isso é
) é
Converter para decimal (pelo pedido de formato):
Passo 5
Fórmula da área em coordenadas polares (aula rápida):
Se a curva é e
varia de
a
, a área
da região encerrada (quando a varredura descreve a região uma vez) é
Se a curva é
Aqui
. Tomando novamente o intervalo
que descreve a região uma vez,
Usamos a identidade
. Assim
Logo
Em decimal:
Passo 6
Verificação rápida com a Parte 2 (consistência): a curva é o círculo de raio
, logo a área esperada é
, que é exatamente o valor obtido pela integral polar. O comprimento esperado como circunferência é
, igual ao valor obtido pela fórmula de comprimento. Portanto os resultados são consistentes.
Passo 7
Como esboçar a curva (orientação prática para o desenho):
- É um círculo com centro em
e raio . Marcar o centro em . - O círculo intercepta o eixo
nos pontos e (observe que a origem pertence à curva). - Os pontos de máximo e mínimo em
são e . - Ao traçar em coordenadas polares, ao aumentar
de até a curva é percorrida uma vez (passando pela origem em ). Se preferir, marque alguns valores: , que, por , corresponde a um ponto no sentido oposto, etc. Essas marcações ajudam a visualizar como a parametrização polar coloca pontos no círculo.
Resposta
Comprimento da curva:
Área delimitada: