Considere a equação polar r=-10 \cos \theta
ATENÇÃO: Insira os valores no seguinte formato decimal por exemplo 12.3456 ou 0.0654321 e portanto escreva
  • 0.0166666 para representar “5/300”
  • ou 13.07976 para representar 2 \ln (10)+3 \pi\left(9-e^{2}\right)-3 \sqrt{5}=13.0797548283 \ldots (que pode ser obtido escrevendo (sem aspas) “2ln(10)+3pi*(9-exp(2))-3*sqrt(5)” diretamente no Google por exemplo)
A sugestão é que você use 6 ou mais dígitos significativos: \mathbf{0 . 0 1 6 6 6 6 6} ou \mathbf{1 3 . 0 7 9 7 6}
Parte 1) (35%) Esboce cuidadosamente a curva polar no plano x y, e determine o comprimento da curva usando a formulação para curvas polares.
O valor do comprimento da curva é □

Parte 2) (35 %)

Encontre (e demonstre precisamente) a equação cartesiana correspondente que tem a forma
(x+a)^{2}+(y+b)^{2}=c^{2} \quad(E q . \quad \star)
e determine \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} e \boldsymbol{c}.
Os valores das constantes na Eq. (*) são \boldsymbol{a}= □ , b= □ e \boldsymbol{c}= □ .
Parte 3)(30%) Determine a área da região delimitada por esta curva polar (utilizando a formulação da área em polares). A partir da Parte 2, indique SE este é o valor esperado para a área da região.
O valor do área delimitada pela curva é □ .

Passo 1

O enunciado dá a equação polar \,r=-10\cos\theta\, e pede três coisas:
  • Parte 1: esboçar a curva no plano xy e determinar o comprimento da curva usando a fórmula para curvas em coordenadas polares.
  • Parte 2: encontrar a equação cartesiana na forma (x+a)^{2}+(y+b)^{2}=c^{2} e determinar os valores de a, b e c.
  • Parte 3: determinar a área da região delimitada por esta curva usando a fórmula de área em coordenadas polares e verificar se o resultado é o esperado a partir da Parte 2.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação polar é \,r=-10\cos\theta\,.
  • Não há outras figuras nem números adicionais.
  • Devemos usar as fórmulas polares padrão para comprimento e área (essas fórmulas serão apresentadas nos passos seguintes).

Passo 2

Converter a equação polar para coordenadas cartesianas (passo necessário para a Parte 2).
Lembrando as relações entre coordenadas:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad r^{2}=x^{2}+y^{2}.
Substituindo r=-10\cos\theta e usando r\cos\theta=x, procedemos assim:
r = -10\cos\theta \quad\Rightarrow\quad r\cos\theta = -10\cos^{2}\theta.
Mas r\cos\theta = x e \cos^{2}\theta = \dfrac{(r\cos\theta)^{2}}{r^{2}}=\dfrac{x^{2}}{r^{2}}. Uma maneira mais direta é multiplicar a equação polar por r:
r^{2} = -10r\cos\theta.
Agora usar r^{2}=x^{2}+y^{2} e r\cos\theta = x:
x^{2}+y^{2} = -10x.
Reorganizando para completar o quadrado em x:
x^{2}+10x+y^{2}=0
x^{2}+10x+25+y^{2}=25
(x+5)^{2}+y^{2}=25.
Portanto a curva cartesiana é um círculo de centro (-5,0) e raio 5. Escrevendo na forma pedida (x+a)^{2}+(y+b)^{2}=c^{2} temos a=5, b=0, c=5. (Nos passos seguintes usaremos estes valores para checar área e para descrever o esboço.)

Passo 3

Entender como a curva é traçada por \theta (importante para as integrais polares). A equação polar é \,r=-10\cos\theta. Observações sobre sinais e varredura de \theta:
  • Para \theta=0: \cos 0=1 então r=-10. O ponto corresponde a (x,y)=(-10,0).
  • Para \theta=\tfrac{\pi}{2}: \cos\tfrac{\pi}{2}=0 então r=0. Esse é a origem (0,0).
  • Para \theta=\pi: \cos\pi=-1 então r=10. O ponto é (x,y)=(-10,0) novamente.
    Assim, ao variar \theta de 0 até \pi a parametrização polar fecha a curva e volta ao mesmo ponto, sem lacunas; essa varredura [0,\pi] traça precisamente o círculo inteiro uma vez. (Se tomássemos \theta de 0 a 2\pi a curva seria percorrida duas vezes.)
Para ver isso parametrizado explicitamente, escreva x e y como funções de \theta:
x(\theta)=r\cos\theta=-10\cos^{2}\theta, \qquad y(\theta)=r\sin\theta=-10\cos\theta\sin\theta=-5\sin(2\theta).
Para \theta\in[0,\pi] estes parâmetros percorrem todo o círculo (x+5)^{2}+y^{2}=25 uma vez.

Passo 4

Fórmula do comprimento de curva em coordenadas polares (aula rápida):
Se uma curva é dada por r=r(\theta) e \theta varia de \alpha a \beta, o comprimento L da curva é
L=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\,r(\theta)^{2}+\bigl(r'(\theta)\bigr)^{2}\,}\,d\theta,
onde r'(\theta)=\dfrac{dr}{d\theta}. Aqui r(\theta)= -10\cos\theta. Calculamos r'(\theta):
r'(\theta)=\dfrac{d}{d\theta}\bigl(-10\cos\theta\bigr)=10\sin\theta.
Logo dentro da raiz:
r(\theta)^{2}+\bigl(r'(\theta)\bigr)^{2}=(-10\cos\theta)^{2}+(10\sin\theta)^{2}=100\cos^{2}\theta+100\sin^{2}\theta=100(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)=100.
A raiz é constante: \sqrt{100}=10. Assim o integrando é 10 e o comprimento para a varredura que percorre a curva uma vez (vimos que isso é \theta\in[0,\pi]) é
L=\int_{0}^{\pi} 10\,d\theta = 10\pi.
Converter para decimal (pelo pedido de formato):
10\pi \approx 31.41592654.

Passo 5

Fórmula da área em coordenadas polares (aula rápida):
Se a curva é r=r(\theta) e \theta varia de \alpha a \beta, a área A da região encerrada (quando a varredura descreve a região uma vez) é
A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} r(\theta)^{2}\,d\theta.
Aqui r(\theta)^{2}=100\cos^{2}\theta. Tomando novamente o intervalo [0,\pi] que descreve a região uma vez,
A=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}100\cos^{2}\theta\,d\theta=50\int_{0}^{\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta.
Usamos a identidade \cos^{2}\theta=\dfrac{1+\cos 2\theta}{2}. Assim
\int_{0}^{\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta=\int_{0}^{\pi}\frac{1+\cos 2\theta}{2}\,d\theta =\frac{1}{2}\Bigl[\theta+\tfrac{1}{2}\sin 2\theta\Bigr]_{0}^{\pi} =\frac{1}{2}\bigl(\pi+0-0\bigr)=\frac{\pi}{2}.
Logo
A=50\cdot\frac{\pi}{2}=25\pi.
Em decimal:
25\pi \approx 78.53981634.

Passo 6

Verificação rápida com a Parte 2 (consistência): a curva é o círculo de raio 5, logo a área esperada é \pi\cdot 5^{2}=25\pi, que é exatamente o valor obtido pela integral polar. O comprimento esperado como circunferência é 2\pi\cdot5=10\pi, igual ao valor obtido pela fórmula de comprimento. Portanto os resultados são consistentes.

Passo 7

Como esboçar a curva (orientação prática para o desenho):
  • É um círculo com centro em (-5,0) e raio 5. Marcar o centro em (-5,0).
  • O círculo intercepta o eixo x nos pontos (-10,0) e (0,0) (observe que a origem (0,0) pertence à curva).
  • Os pontos de máximo e mínimo em y são (-5,5) e (-5,-5).
  • Ao traçar em coordenadas polares, ao aumentar \theta de 0 até \pi a curva é percorrida uma vez (passando pela origem em \theta=\tfrac{\pi}{2}). Se preferir, marque alguns valores: \theta=0\Rightarrow(-10,0), \theta=\tfrac{\pi}{6}\Rightarrow r=-10\cdot\cos\frac{\pi}{6}=-10\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} que, por r<0, corresponde a um ponto no sentido oposto, etc. Essas marcações ajudam a visualizar como a parametrização polar coloca pontos no círculo.

Resposta

Comprimento da curva: 31.41592654
a=5.000000
b=0.000000
c=5.000000
Área delimitada: 78.53981634

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